Mitä M: stä voidaan tehdä, yhtälön x ^ 11 = 1 ei-todellisten juurien lukumäärä?

Vastaus:

Todellinen root: vain 1. Muut 10 monimutkaista juuria ovat

#cis ((2k) / 11pi), k = 1, 2, 3, …, 9, 10 #.

Selitys:

Yhtälö on # X ^ 11-1 = #. Merkkien muutosten määrä

kertoimet ovat 1. Joten positiivisten todellisten juurien lukumäärä ei voi e

ylittää 1.

X: n muuttaminen -x: ksi yhtälö muuttuu # -X ^ 11-1 = 0 # ja

merkkien muutosten määrä on nyt 0. Ei siis ole negatiivista juuria.

Myös monimutkaiset juuret esiintyvät konjugaattipareissa, ja niinpä niiden lukumäärä

monimutkaiset juuret ovat tasaisia.

Näin ollen on vain yksi todellinen juuri ja tämä on 1, huomaten, että

kertoimien summa on 0.

Kaiken kaikkiaan yhdentoista yhdentoista juuret ovat

#cis ((2k / 11) pi), k = 0, 1, 2, 3, … 10, #.

ja tässä, k = 0, antaa juuren #cis 0 = cos 0 + i sin 0 = 1 #