Mikä on int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx: n integraali?

Vastaus:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Selitys:

Suuri ongelma tässä integraalissa on juuri, joten haluamme päästä eroon siitä. Voimme tehdä tämän ottamalla käyttöön korvaamisen # U = sqrt (2x-1) #. Johdannainen on silloin

# (Du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Joten jaamme (ja muista, että jakaminen vastavuoroisesti on sama kuin kerroin nimittäjällä) integroitumiseen suhteessa # U #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / peruuta (sqrt (2x-1)) peruuta (sqrt (2x-1)) = int x ^ 2-1

Nyt meidän tarvitsee vain ilmaista # X ^ 2 # kannalta # U # (koska et voi integroida # X # kunnioittaen # U #):

# U = sqrt (2x-1) #

# U ^ 2 = 2x-1 #

# U ^ 2 + 1 = 2x #

# (U ^ 2 + 1) / 2 = x #

# X ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Voimme kytkeä tämän takaisin kiinteästi saadaksemme:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1

Tämä voidaan arvioida käänteisen tehon säännöllä:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Uudelleen korvaaminen # U = sqrt (2x-1) #, saamme:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #

James osallistuu 5 kilometrin kävelymatkaan keräämään rahaa hyväntekeväisyyteen. Hän on saanut 200 dollaria kiinteissä panteissa ja nostaa 20 dollaria ylimääräistä palkkaa jokaista kävijämäärää kohti. Miten käytät piste-kaltevuusyhtälöä löytääksesi määrän, jonka hän nostaa, jos hän lähtee kävelemään.

Viiden mailin jälkeen Jamesillä on 300 dollaria. Piste-kaltevuusyhtälön muoto on: y-y_1 = m (x-x_1), jossa m on kaltevuus, ja (x_1, y_1) on tunnettu piste. Tapauksessamme x_1 on lähtöasento, 0 ja y_1 on rahan lähtömäärä, joka on 200. Nyt yhtälömme on y-200 = m (x-0) Meidän ongelmamme on pyytää rahamäärää James on, mikä vastaa y-arvoa, mikä tarkoittaa, että meidän on löydettävä arvo m: lle ja x: lle. x on lopullinen kohde, joka on 5 kilometriä ja m kertoo meille. Ongelma kertoo meille,

Tutkimuksessa, jossa oli 1118 henkilöä, 732 ihmistä ilmoitti äänestäneensä äskettäisissä presidentinvaaleissa. Kun otetaan huomioon, että 63 prosenttia äänioikeutetuista äänestäjistä tosiasiallisesti äänesti, mikä on todennäköisyys, että 1118 satunnaisesti valittua äänestäjää ainakin 732 äänesti?

Miten määrität, onko väärä integraali konvergoituu tai eroaa int 1 / [sqrt x]: sta 0: sta äärettömään?

Integraali erottuu. Voimme käyttää vertailutestiä epäasianmukaisiin integraaleihin, mutta tässä tapauksessa integraali on niin helppo arvioida, että voimme vain laskea sen ja nähdä, onko arvo rajoitettu. int_0 ^ oo1 / sqrtx dx = int_0 ^ oox ^ (- 1/2) = [2sqrtx] _0 ^ oo = lim_ (x-> oo) (2sqrtx) -2sqrt (0) = lim_ (x-> oo) ( 2sqrtx) = oo Tämä tarkoittaa, että integraali erottuu.