Näytä, että (1 + cos theta + i * sin theta) ^ n + (1 + cos theta-i * sin theta) ^ n = 2 ^ (n + 1) * (cos theta / 2) ^ n * cos ( n * theta / 2)?

Vastaus:

Katso alla.

Päästää # 1 + costheta + isintheta = r (cosalpha + isinalpha) #, täällä # R = sqrt ((1 + costheta) ^ 2 + sin ^ 2theta) = sqrt (2 + 2costheta) #

= #sqrt (2 + 4cos ^ 2 (theta / 2) -2) = 2cos (theta / 2) #

ja # Tanalpha = sintheta / (1 + costheta) == (2sin (theta / 2) cos (theta / 2)) / (2cos ^ 2 (theta / 2)) = tan (theta / 2) # tai # Alfa = theta / 2 #

sitten # 1 + costheta-isintheta = r (cos (-alfa) + isin (-alfa)) = r (cosalpha-isinalpha) #

ja voimme kirjoittaa # (1 + costheta + isintheta) ^ n + (1 + costheta-isintheta) ^ n # käyttäen DE MOivren teoriaa

# R ^ n (cosnalpha + isinnalpha + cosnalpha-isinnalpha) #

= # 2r ^ ncosnalpha #

= # 2 * 2 ^ aliupseereista ^ n (theta / 2) cos ((ntheta) / 2) #

= # 2 ^ (n + 1) cos ^ n (theta / 2) cos ((ntheta) / 2) #