Mikä on parabolan yhtälö, jossa on tarkennus (5,3) ja y = -12 suuntaussuhde?

Vastaus:

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

Selitys:

Parabolan määritelmässä todetaan, että kaikilla parabolan pisteillä on aina sama etäisyys tarkennuksesta ja suorakulmiosta.

Voimme päästää # P = (x, y) #, joka edustaa yleistä kohtaa parabolasta, voimme antaa # F = (5,3) # edustavat painopistettä ja # D = (x, -12) # edustavat lähimmän pisteen suorakohdassa, # X # johtuu siitä, että suoran lähimpänä oleva kohta on aina suoraan alaspäin.

Nyt voidaan määrittää yhtälö näiden pisteiden kanssa. Käytämme etäisyyskaavaa, jotta voimme selvittää etäisyydet:

# D = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Voimme soveltaa tätä pisteisiin, jotta saamme ensin etäisyyden # P # ja # F #:

#d_ (PF) = sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) #

Sitten kehitämme etäisyyden # P # ja # D #:

#d_ (PD) = sqrt ((x-x) ^ 2 + (y - (- 12)) ^ 2) #

Koska näiden etäisyyksien on oltava yhtä suuria, voimme laittaa ne yhtälöön:

#sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2) = sqrt ((y + 12) ^ 2) #

Pisteestä lähtien # P # on yleisessä muodossa ja voi edustaa mitä tahansa kohtaa parabolassa, jos voimme vain ratkaista # Y # yhtälössä jätetään yhtälö, joka antaa meille kaikki parabolan pisteet tai toisin sanoen se on parabolan yhtälö.

Ensinnäkin, olemme neliön molemmat puolet:

# (Sqrt ((x-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2)) ^ 2 = (sqrt ((y + 12) ^ 2)) ^ 2 #

# (X-5) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = (y + 12) ^ 2 #

Voimme sitten laajentaa:

# X ^ 2-10x + 25 + y ^ 2-6y + 9 = y ^ 2 + 24y + 144 #

Jos laitamme kaiken vasemmalle ja keräämme samoja termejä, saamme:

# X ^ 2-10x-110-30y = 0 #

# 30y = x ^ 2-10x-110 #

# Y = x ^ 2 / 30- (10x) / 30-110 / 30 #

# Y = x ^ 2/30-x / 3-11 / 3 #

joka on parabolamme yhtälö.