# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3) ^ 2-2 (x ^ 3) + 1 # on muotoa # Y ^ 2-2y + 1 # missä #y = x ^ 3 #.
Tämä neliökaava on # Y # tekijöitä seuraavasti:
# y ^ 2-2y + 1 = (y-1) (y-1) = (y - 1) ^ 2 #
Niin # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x ^ 3 - 1) ^ 2 #
# x ^ 3 - 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
Niin # x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) (x - 1) (x ^ 2 + x + 1) #
# = (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #.
# X ^ 2 + x + 1 # ei ole lineaarisia tekijöitä, joilla on todellisia kertoimia. Voit tarkistaa tämän ilmoituksen siitä, että se on muotoa # ax ^ 2 + bx + c #, jolla on syrjivä:
#Delta = b ^ 2 - 4ac = 1 ^ 2 - 4 * 1 * 1 = 1 - 4 = -3 #
Negatiivinen, yhtälö # x ^ 2 + x + 1 = 0 # ei ole todellisia juuria.
Yksi tapa tarkistaa vastaus on korvata arvo # X # joka ei ole juurta molemmille puolille ja katso, saammeko saman tuloksen:
Yrittää # X = 2 #:
# x ^ 6-2x ^ 3 + 1 = 2 ^ 6-2x ^ 3 + 1 #
# = 64- (2xx8) +1 = 64-16 + 1 = 49 #
Vertailla:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 = (2-1) ^ 2 (2 ^ 2 + 2 + 1) ^ 2 #
#1^2*7^2=49#
No, se toimi!
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # on melko helppo tekijä, koska se on täydellinen neliö. Miten tiedän tämän? Se on muodoltaan trinomi # a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #, ja kaikki tässä muodossa olevat trinomialit ovat täydellisiä neliöitä.
Tämä kolmikko on täydellinen neliö # (x ^ 3 - 1) #. Voit tarkistaa työni töiden taaksepäin:
# (x ^ 3 - 1) (x ^ 3 - 1) #
# = x ^ 6 - x ^ 3 - x ^ 3 + 1 #
# = x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Niinpä tällä trinomialla on tekijöitä #1#, # x ^ 3 - 1 #, ja # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #.
Kuten minulle on kuitenkin todettu, # (x ^ 3 - 1) # on myös tekijöitä. Koska kyseessä on lomakkeen binomi # a ^ 3 - b ^ 3 #, se voidaan kirjoittaa myös nimellä # (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) #.
Niin, # (x ^ 3 - 1) # tekijöitä # (x - 1) # ja # (x ^ 2 + x + 1) #, jotka molemmat ovat ensisijaisia.
Tekijät # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # ovat:
#1#
# X-1 #
# x ^ 2 + x + 1 #
# x ^ 3 - 1 #
# x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 #
Tarkemmin sanottuna # x ^ 6 - 2x ^ 3 + 1 # on:
# (x - 1) ^ 2 (x ^ 2 + x + 1) ^ 2 #
