Miten löydät tan (x - y) = x johdannaisen?

Vastaus:

# (Dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Selitys:

Oletan, että haluat löytää # (Dy) / (dx) #. Tätä varten tarvitsemme ensin ilmaisun # Y # kannalta # X #. Huomaa, että ongelmalla on erilaisia ratkaisuja #tan (x) # on jaksollisia toimintoja, #tan (x-y) = x # on useita ratkaisuja. Koska tiedämme kuitenkin tangenttitoiminnon ajan (# Pi #), voimme tehdä seuraavat: # X-y-= tan ^ (- 1) x + npi #, missä #tan ^ (- 1) # on kääntöfunktio tangentista, joka antaa arvot välillä # Pi / 2 # ja # Pi / 2 # ja tekijä # NPI # on lisätty tangentin jaksollisuuden huomioon ottamiseksi.

Tämä antaa meille # Y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, siksi # (Dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, huomaa, että tekijä # NPI # on kadonnut. Nyt meidän täytyy löytää # D / (dx) tan ^ (- 1) x #. Tämä on melko hankalaa, mutta toteutettavissa käänteisfunktioteemalla.

asetus # U = tan ^ (- 1) x #, meillä on # X = Tanu = sinu / cosu #, niin # (Dx) / (du) = (cos ^ 2 u + sin ^ 2u) / cos ^ 2U = 1 / cos ^ 2U #käyttämällä osamääräystä ja joitakin trigonometrisiä identiteettejä. Käänteisen funktion teeman avulla (joka ilmoittaa, että jos # (Dx) / (du) # on jatkuvaa ja ei-nollaa # (Du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), meillä on # (Du) / (dx) = cos ^ 2u #. Nyt meidän on ilmaistava # Cos ^ 2u # x: n mukaan.

Tätä varten käytämme jonkin verran trigonometriaa. Oikea kolmio, jossa on sivut # A, b, c # missä # C # on hypotenuse ja # A, b # kytketty oikeaan kulmaan. Jos # U # on kulma, jossa sivu on # C # leikkaa puoli # A #, meillä on # X = Tanu = b / a #. Symboleilla # A, b, c # niissä yhtälöissä, joita me merkitsemme, näiden reunojen pituus on. # Cosu = / c # ja käyttämällä Pythagoras-teemaa, löydämme # C = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Tämä antaa # Cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, niin # (Du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Siitä asti kun # U = tan ^ (- 1) x #, voimme korvata tämän yhtälömme # (Dy) / (dx) # ja etsi # (Dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.