Mikä on int tan ^ 4x dx: n integraali?

Vastaus:

# (Tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Selitys:

Trig-antiderivaatteiden ratkaiseminen edellyttää yleensä integraalin rikkoutumista Pythagorean identiteettien käyttämiseksi, ja niitä käytetään a # U #substituutio. Juuri sitä me teemme täällä.

Aloita kirjoittamalla uudelleen # Inttan ^ 4xdx # kuten # Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Nyt voimme soveltaa Pythagorean identiteettiä # Tan ^ 2x + 1 = s ^ 2x #, tai # Tan ^ 2x = s ^ 2x-1 #:

# Inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (s ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Jakaminen # Tan ^ 2x #:

#COLOR (valkoinen) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xtan ^ 2xdx #

Summasäännön soveltaminen:

#COLOR (valkoinen) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Arvioimme nämä integraalit yksitellen.

First Integral

Tämä ratkaistaan käyttämällä a # U #substituutio:

Päästää # U = tanx #

# (Du) / dx = s ^ 2x #

# Du = s ^ 2xdx #

Korvauksen soveltaminen

#COLOR (valkoinen) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = Intu ^ 2DU #

#COLOR (valkoinen) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Koska # U = tanx #, # Intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Second Integral

Koska emme todellakaan tiedä mitä # Inttan ^ 2xdx # on vain katsomalla sitä, kokeile # Tan ^ 2 = s ^ 2x-1 # identiteetti uudelleen:

# Inttan ^ 2xdx = int (s ^ 2x-1) dx #

Summasääntöä käyttäen integraali kiehuu:

# Intsec ^ 2xdx-int1dx #

Ensimmäinen niistä # Intsec ^ 2xdx #, on vain # Tanx + C #. Toinen, niin sanottu "täydellinen integraali", on yksinkertaisesti # X + C #. Voimme sanoa:

# Inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

Ja koska # C + C # on vain toinen mielivaltainen vakio, voimme yhdistää sen yleiseen vakioon # C #:

# Inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Kahden tuloksen yhdistäminen:

# Inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Jälleen, koska # C + C # on vakio, voimme liittyä niihin yhdeksi # C #.