Kaksi tasakylkisen kolmion kulmaa ovat kohdassa (1, 3) ja (9, 4). Jos kolmion alue on 64, mitkä ovat kolmion sivujen pituudet?

Vastaus:

Kolmion sivujen pituudet ovat:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Selitys:

Kahden pisteen välinen etäisyys # (x_1, y_1) # ja # (x_2, y_2) # annetaan etäisyyskaavalla:

#d = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

Joten etäisyys # (x_1, y_1) = (1, 3) # ja # (x_2, y_2) = (9, 4) # on:

#sqrt ((9-1) ^ 2 + (4-3) ^ 2) = sqrt (64 + 1) = sqrt (65) #

joka on irrationaalinen määrä, joka on hieman suurempi kuin #8#.

Jos yksi kolmion kolmesta sivusta oli sama pituus, kolmion suurin mahdollinen alue olisi:

# 1/2 * sqrt (65) ^ 2 = 65/2 <64 #

Näin ei voi olla. Sen sijaan kahden muun puolen pituuden on oltava sama.

Koska kolmio, jossa on sivut # a = sqrt (65), b = t, c = t #, voimme käyttää Heronin kaavaa löytääkseen sen alueen.

Herons-kaava kertoo meille, että kolmion muotoinen puoli on sivussa #a, b, c # ja puolipiste #s = 1/2 (a + b + c) # antaa:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Tällöin puoliperävaunu on:

#s = 1/2 (sqrt (65) + t + t) = t + sqrt (65) / 2 #

ja Heronin kaava kertoo, että:

# 64 = 1 / 2sqrt ((t + sqrt (65) / 2) (t-sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2) (sqrt (65) / 2)) #

#color (valkoinen) (64) = 1 / 2sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Kerro molemmat päät #2# saada:

# 128 = sqrt (65/4 (t ^ 2-65 / 4)) #

Nosta molemmat puolet saadaksesi:

# 16384 = 65/4 (t ^ 2-65 / 4) #

Kerro molemmat puolet #4/65# saada:

# 65536/65 = t ^ 2-65 / 4 #

Transponoi ja lisää #65/4# molemmille osapuolille

# t ^ 2 = 65536/65 + 65/4 = 262144/260 + 4225/260 = 266369/260 #

Ota molempien osapuolten positiivinen neliöjuuri saadaksesi:

#t = sqrt (266369/260) #

Niinpä kolmion sivujen pituudet ovat:

#sqrt (65), sqrt (266369/260), sqrt (266369/260) #

Vaihtoehtoinen menetelmä

Heronin kaavan käyttämisen sijaan voimme perustella seuraavaa:

Koska tasakylkisen kolmion pohja on pitkä:

#sqrt (8 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (65) #

Alue on # 64 = 1/2 "pohja" xx "korkeus" #

Niinpä kolmion korkeus on:

# 64 / (1/2 sqrt (65)) = 128 / sqrt (65) = (128sqrt (65)) / 65 #

Tämä on kolmion keskiviivan pituus, joka kulkee pohjan keskipisteen läpi.

Joten kaksi muuta puolta muodostavat kahden oikean kulman kolmion, joissa on jalat, hypotenukset #sqrt (65) / 2 # ja # (128sqrt (65)) / 65 #

Joten Pythagoras, jokainen näistä sivuista on pitkä:

#sqrt ((sqrt (65) / 2) ^ 2 + ((128sqrt (65)) / 65) ^ 2) = sqrt (65/4 + 65536/65) = sqrt (266369/260) #