Tasasivuisessa kolmiossa olevan ympyrän säde on 2. Mikä on kolmion ympärysmitta?

Vastaus:

Kehä vastaa # 12sqrt (3) #

Selitys:

On monia tapoja käsitellä tätä ongelmaa.

Tässä on yksi niistä.

Kolmion ympärille kirjoitetun ympyrän keskipiste sijaitsee sen kulmien bisektoreiden leikkauspisteessä. Tasasivuisen kolmion kohdalla tämä on sama kohta, jossa sen korkeudet ja mediaanit leikkaavat myös.

Kaikki mediaani jaetaan muiden mediaanien leikkauspisteeseen suhteessa #1:2#. Siksi kyseessä olevan tasasivuisen kolmion mediaani, korkeus ja kulma-akselit ovat yhtä suuret kuin

#2+2+2 = 6#

Nyt voimme käyttää Pythagorean-teemaa löytääksemme tämän kolmion sivun, jos tiedämme sen korkeuden / mediaanin / kulma-bisektorin.

Jos sivu on # X #, Pythagorean lauseesta

# x ^ 2 - (x / 2) ^ 2 = 6 ^ 2 #

Tästä:

# 3x ^ 2 = 144 #

#sqrt (3) x = 12 #

#x = 12 / sqrt (3) = 4sqrt (3) #

Kehä vastaa kolmea tällaista sivua:

# 3x = 12sqrt (3) #.

Vastaus:

Kehä vastaa # 12sqrt (3) #

Selitys:

Vaihtoehtoinen menetelmä on alla.

Oletetaan, että tasasivuinen kolmio on #Delta ABC # ja se on kirjoitetun ympyrän keskipiste # O #.

Piirrä keskiarvo / korkeus # A # läpi pisteen # O # kunnes se leikkaa sivua # BC # kohdassa # M #. On selvää, # OM = 2 #.

Harkitse kolmiota #Delta OBM #.

Sen oikea siitä asti kun #OM_ | _BM #.

Kulma # / _ OBM = 30 ^ O # siitä asti kun #BO# on kulma bisector # / _ ABC #.

puoli # BM # on puolet # BC # siitä asti kun #OLEN# on mediaani.

Nyt voimme löytää # OB # hypotenukseksi oikeassa kolmiossa, jossa on yksi akuutti kulma # 30 ^ O # ja katetti sen vastapäätä #2#. Tämä hypotenus on kaksi kertaa niin pitkä kuin tämä katetus #4#.

Ottaa hypotenuse # OB # ja katetus # OM #, etsi toinen katetus # BM # Pythagorean teoria:

# BM ^ 2 = OB ^ 2 - OM ^ 2 = 16-4 = 12 #

Siksi,

# BM = sqrt (12) = 2sqrt (3) #

#BC = 2 * BM = 4sqrt (3) #

Kehä on

# 3 * BC = 12sqrt (3) #