F '(pi / 3) f (x) = ln (cos (x))?

Vastaus:

# -Sqrt (3) #

Selitys:

Ensin on löydettävä #f '(x) #

siten, # (df (x)) / dx = (d ln (cos (x))) / dx #

sovellamme ketjun sääntöä täällä, niin # (d ln (cos (x))) / dx = 1 / cos (x) * (- sinx) #…………………….(1)

siitä asti kun, # (d ln (x) / dx = 1 / x ja d (cos (x)) / dx = -sinx) #

ja me tiedämme #sin (x) / cos (x) = tanx #

näin ollen yllä oleva yhtälö (1) on

# f '(x) = - tan (x) #

ja, #f "(pi / 3) = - (sqrt3) #

Vastaus:

# -Sqrt (3) #

Selitys:

#f (x) = ln (cos (x)) #

#f '(x) = - sin (x) / cos (x) = - tan (x) #

#f "(pi / 3) = - tan (pi / 3) = - sqrt (3) #

Vastaus:

Jos #f (x) = ln (cos (x)) #sitten #f '(pi / 3) = -sqrt (3) #

Selitys:

Ilmaus #ln (cos (x)) # on esimerkki funktion koostumuksesta.

Toimintojen kokoonpano on yksinkertaisesti vain yhdistämällä kaksi tai useampia toimintoja ketjussa uuden funktion muodostamiseksi - komposiittitoiminto.

Komposiittitoimintoa arvioitaessa käytetään sisäisen komponenttitoiminnon lähtöä, koska ulompi sisäänmeno pitää linkkejä ketjussa.

Jotkin merkinnät komposiittitoiminnoille: jos # U # ja # V # ovat toiminnot, yhdistelmätoiminto #u (v (x)) # on usein kirjoitettu #u circ v # joka on lausuttu "u ympyrä v" tai "u seuraava v."

Näiden toimintojen johdannaisten arvioimiseksi on olemassa sääntö, joka koostuu muiden toimintojen ketjuista: ketjurajoituksesta.

Ketjun säännössä todetaan:

# (u circ v) '(x) = u' (v (x)) * v '(x) #

Ketju sääntö johdetaan johdannaisen määritelmästä.

Päästää #u (x) = ln x #, ja #v (x) = cos x #. Tämä tarkoittaa sitä, että alkuperäinen toiminto #f = ln (cos (x)) = u circ v #.

Tiedämme sen #u '(x) = 1 / x # ja #v '(x) = -sin x #

Ketjun säännön palauttaminen ja soveltaminen ongelmaan:

#f '(x) = (u circ v)' (x) #

# = u '(v (x)) * v' (x) #

# = u '(cos (x)) * v' (x) #

# = 1 / cos (x) * -sin (x) #

# = -sin (x) / cos (x) #

# = -tan (x) #

Se on annettu #x = pi / 3 #; siksi, #f '(pi / 3) = -tan (pi / 3) = -sqrt (3) #