Yksi positiivinen kokonaisluku on 3 vähemmän kuin kahdesti toinen. Niiden neliöiden summa on 117. Mitkä ovat kokonaisluvut?

Vastaus:

#9# ja #6#

Selitys:

Ensimmäisten positiivisten kokonaislukujen neliöt ovat:

#1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100#

Ainoat kaksi, joiden summa on #117# olemme #36# ja #81#.

Ne sopivat olosuhteisiin, koska:

#COLOR (sininen) (6) * 2-3 = väri (sininen) (9) #

ja:

#color (sininen) (6) ^ 2 + väri (sininen) (9) ^ 2 = 36 + 81 = 117 #

Joten kaksi kokonaislukua ovat #9# ja #6#

Miten voisimme löytää nämä muodollisemmin?

Oletetaan, että kokonaisluvut ovat # M # ja # N #, kanssa:

#m = 2n-3 #

Sitten:

# 117 = m ^ 2 + n ^ 2 = (2n-3) ^ 2 + n ^ 2 = 4n ^ 2-12n + 9 + n ^ 2 = 5n ^ 2-12n + 9 #

Niin:

# 0 = 5 (5n ^ 2-12n-108) #

#color (valkoinen) (0) = 25n ^ 2-60n-540 #

#color (valkoinen) (0) = (5n) ^ 2-2 (5n) (6) + 6 ^ 2-576 #

#color (valkoinen) (0) = (5n-6) ^ 2-24 ^ 2 #

#color (valkoinen) (0) = ((5n-6) -24) ((5n-6) +24) #

#color (valkoinen) (0) = (5n-30) (5n + 18) #

#color (valkoinen) (0) = 5 (n-6) (5n + 18) #

Siten:

#n = 6 "" # tai # "" n = -18 / 5 #

Olemme kiinnostuneita vain positiivisista kokonaisluvuista, joten:

#n = 6 #

Sitten:

#m = 2n-3 = 2 (väri (sininen) (6)) - 3 = 9 #