Supersankari lanseeraa itsensä rakennuksen huipulta nopeudella 7,3 m / s 25 asteen kulmassa vaakatason yläpuolella. Jos rakennus on 17 m korkea, kuinka pitkälle hän kulkee vaakasuunnassa ennen maapallon saavuttamista? Mikä on hänen lopullinen nopeus?

Tämän kaavio näyttää tältä:

Se, mitä tekisin, on luettelo, mitä tiedän. Me otamme negatiivinen kuin alaspäin ja jätetty positiiviseksi.

#h = "17 m" #

#vecv_i = "7,3 m / s" #

#veca_x = 0 #

#vecg = - "9,8 m / s" ^ 2 #

#Deltavecy =? #

#Deltavecx =? #

#vecv_f =? #

OSA 1: ASENNUS

Mitä haluaisin tehdä, on löytää, missä kärki on määritellä # Deltavecy #, ja sitten työskennellä vapaan pudotuksen skenaariossa. Huomaa, että kärjessä #vecv_f = 0 # koska henkilö muuttaa suuntaa painovoiman vallitessa nopeuden vertikaalikomponentin vähentämisessä nollan kautta ja negatiivisiin.

Yksi yhtälö, johon liittyy # Vecv_i #, # Vecv_f #, ja # Vecg # on:

# matbf (vecv_ (fy) ^ 2 = vecv_ (iy) ^ 2 + 2vecgDeltavecy) #

missä me sanomme #vecv_ (fy) = 0 # kärjessä.

Siitä asti kun #vecv_ (fy) ^ 2 <vecv_ (iy) ^ 2 # ja #Deltavecy> 0 #, # Deltavecv_y ^ 2 <0 # ja tämä yhtälö todella pyytää meitä käyttämään #g <0 #.

Osittain 1:

#color (sininen) (Deltavecy) = (vecv_ (fy) ^ 2 - v_ (iy) ^ 2) / (2g) = väri (sininen) ((- v_ (iy) ^ 2) / (2g)> 0 #

missä #vecv_ (fy) = 0 # on osan nopeus 1.

Muista, että pystysuoralla nopeudella on a # Sintheta # komponentti (piirtää oikea kolmio ja saat #sintheta = (vecv_ (y)) / (vecv) # suhde).

#color (vihreä) (Deltavecy = (-v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g)> 0 #

Nyt meillä on # Deltavecy # ja me tiedämme sen # Vecv_y # on muuttunut suuntaan, voimme olettaa vapaa pudotus tapahtuu.

kokonaiskorkeus syksyllä on #color (vihreä) (h + Deltavecy) #. Tätä voimme käyttää osittain 2.

saan # Deltavecy # olla noin # "0.485 m" # ja #h + Deltavecy # olla noin #color (sininen) ("17,485 m") #.

KAKSI OSA: VAPAA FALL

Voimme jälleen kohdella # Y # suuntaan riippumatta # X # suuntaan #veca_x = 0 #.

Muista, että kärjessä #color (vihreä) (vecv_ (iy) = 0) #, joka on osan nopeus 2, ja oli lopullinen nopeus osittain 1. Nyt voimme käyttää toista 2D-kinemaattista yhtälöä. Muista, että kokonaiskorkeus ei ole # Deltavecy # tässä!

# matbf (h + Deltavecy = 1 / 2g t_ "freefall" ^ 2) + peruuta (v_ (iy) t_ "freefall") ^ (0) #

Nyt voimme vain ratkaista ajan, joka kuluu maapallon kärjessä.

#color (vihreä) (t_ "freefall") = sqrt ((2 (h + Deltavecy)) / g) #

# = väri (vihreä) (sqrt ((2 (h - (v_ (i) ^ 2 sin ^ 2theta) / (2g)) / g)) #

ja tietenkin aika ei tietenkään ole koskaan negatiivinen, joten voimme jättää kielteisen vastauksen huomiotta.

… Ja me pääsemme sinne.

KOLMAS OSA: HORISONTAALISEN KAUPAN VÄHENTÄMINEN

Voimme käyttää samaa kinemaattista yhtälöä kuin aiemmin tutkittu. Yksi niistä asioista, joita olemme käyneet # DeltaX #, mikä on:

#color (sininen) (Deltax) = peruuta (1 / 2a_xt ^ 2) ^ (0) + v_ (ix) t #

Ja kuten aikaisemmin, käytä trigeriä suhteessa # X # komponentti (# Costheta #).

# = väri (sininen) (vecv_icostheta * t_ "yleinen")> 0 #

missä #t_ "yleistä" # EI ole se, mitä saimme osittain 2, mutta sisältää ajan #t_ "harppaus" # menevät rakennuksesta lennon huippuun ja #t_ "vapaan pudotuksen" # hankimme aikaisemmin.

#Deltay = 1 / 2vecg t_ "hyppy" ^ 2 + vecv_ (iy) t_ "hyppy" #

Kanssa #Deltay ~~ "0.485 m" #. Kun ratkaistaan tämä käyttäen kvadratiivista yhtälöä, se antaisi:

#t_ "hyppy" = (- (vecv_ (iy)) + sqrt ((vecv_ (iy)) ^ 2 - 4 (1 / 2vecg) (- | Deltay |))) / (2 * 1 / 2vecg) #

# ~~ "0.3145 s" #

Sisällytä aika, joka on hankittu kärjeksi maahan, ja sinun pitäisi saada aikaan #color (sininen) ("2.20 s") # koko lennolle. Kutsumme tätä #t_ "yleistä" #.

#t_ "yleinen" = t_ "harppaus" + t_ "freefall" #

käyttämällä #t_ "yleistä" #, Saan #color (sininen) (Deltavecx ~~ "14,58 m") #.

NELJÄN OSA: LOPULLISEN VELOCITEEN RATKAISU

Nyt tämä vaatii hieman enemmän ajattelua. Tiedämme sen #h = "17 m" # ja meillä on # DeltaX #. Siksi voimme määrittää kulman vaakatasoon nähden.

#tantheta '= (h + Deltavecy) / (Deltavecx) #

#color (sininen) (theta '= arctan ((h + Deltavecy) / (Deltavecx))) #

Huomaa, miten käytimme #h + Deltavecy # koska me itse asiassa hyppäsimme ylöspäin ennen putoamista, emmekä hypänneet suoraan eteenpäin. Niin, kulma # Theta # sisältyy # DeltaX # ja kokonaiskorkeus, ja me otamme sen suuruus tämän kokonaiskorkeuden.

Ja lopulta # Vecv_x # ei ole muuttunut koko tämän ajan (ohitamme ilmakestävyyttä täällä):

#color (vihreä) (vecv_ (fx)) = vecv_ (ix) = vecv_fcostheta '= väri (vihreä) (vecv_icostheta)> 0 #

missä # Vecv_i # on alkunopeus osasta 1. Nyt meidän täytyy vain tietää mitä #vecv_ (FY) # on osittain 2. Siirry takaisin alkuun nähdäksesi:

#vecv_ (fy) ^ 2 = peruuta (vecv_ (iy) ^ 2) ^ (0) + 2vecg * (h + Deltavecy) #

Näin ollen tästä tulee:

#color (vihreä) (vecv_ (fy) = -sqrt (2vecg * (h + Deltavecy)) <0 #

Muista, että määritimme alaspäin negatiivisena, niin # h + Deltay <0 #.

Okei, olemme ALMOST siellä. Meitä pyydetään # Vecv_f #. Siksi päätämme käyttämällä Pythagoraan lause.

# vecv_f ^ 2 = vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2 #

#color (sininen) (vecv_f = -sqrt (vecv_ (fx) ^ 2 + vecv_ (fy) ^ 2)) <0 #

Yleensä ottaen, #color (sininen) (| vecv_f | ~~ "19,66 m / s") #.

Ja se olisi kaikki se! Tarkista vastauksesi ja kerro minulle, toimiiko se.

Täällä vel. projektio, # V = 7.3ms ^ -1 #

kulma. projektio,# Alfa = 25 ^ 0 # vaakatasossa

Projektorin nopeuden ylöspäin suuntautuva komponentti,# vsinalpha = 7,3 * sin25 ^ 0 = 7.3 * 0.42ms ^ -1 ~~ 3.07ms ^ -1 #

Rakennus on 17 metriä korkea # H = -17m # kun supersankari ennusti itsensä ylöspäin (otettu positiiviseksi täällä)

Jos lennon aika eli aika, jolloin pääsee maahan, katsotaan olevan T

sitten käyttäen kaavaa #h = vsinalpha * t-1/2 * g * t ^ 2 # meillä voi olla

# => - 17 = 3,07 * T-0,5 * 9,8 * T ^ 2 #

# => 4.9T ^ 2-3.07T-17 = 0 #

jakamalla molemmat puolet 4,9: llä saamme

# => T ^ 2-0.63T-3,47 = 0 #

# => T = (0,63 + sqrt ((- 0,63) ^ 2-4 * 1 * (- 3,47))) / 2 ~~ 2.20s #

(hylätty negatiivinen aika)

Niinpä sankarin vaakasuora siirtymä ennen maapallon saavuttamista on

# = T * vcosalpha = 2,20 ** 7.3cos (25 ^ 0) ~~ 14.56m #

Nopeuden laskeminen maanpinnan saavuttamisen aikaan

Pystysuuntainen komponentin nopeus maanpinnan saavuttamisen aikaan

# v_y ^ 2 = u ^ 2sin ^ 2alpha + 2xx (-9.8) xx (-17) #

Jälleen vaakasuoran komponentin nopeus saavutettaessa maata

# => V_x = ucosalpha #

Näin syntynyt nopeus maanpinnan saavuttamisen aikaan

# V_r = sqrt (v_x ^ 2 + v_y ^ 2) = sqrt (u ^ 2sin ^ 2o + u ^ 2cos ^ 2o-2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (u ^ 2 + 2xx9.8xx17) #

# => V_r = sqrt (7,3 ^ 2 + 2xx9.8xx17) = 19,66 "m / s" #

Suunta # V_r # vaakatasossa# = Tan ^ -1 (v_y / v_x) #

# = Tan ^ -1 (sqrt (u ^ 2sin ^ 2o + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (ucosalpha)) #

# = tan ^ -1 (sqrt (7.3 ^ 2sin ^ 2 25 + 2xx (-9,8) xx (-17)) / (7.3cos25)) #

# = 70.3 ^ @ -> "alaspäin vaakatasossa" #

Onko se hyödyllistä?