Kolmion A pinta-ala on 9 ja kaksi sivua pituudeltaan 6 ja 9. Kolmio B on samanlainen kuin kolmio A ja sen pituus on 12. Mitkä ovat kolmion B suurimmat ja pienimmät mahdolliset alueet?

Vastaus:

min # = fr {144 (13 -8qrt {2})} {41} noin 5.922584784 … #

max # = fr {144 (13 + 8qrt {2})} {41} noin 85,39448839 … #

Selitys:

Ottaen huomioon:

# Alue _ {kolmioA} = 9 #

Sivupituudet # kolmioA # olemme # X, Y, Z #

# X = 6, Y = 9 #

Sivupituudet # kolmioB # olemme # U, V, W #

#U = 12 #

# kolmio teksti {samanlainen} kolmio B #

ratkaise ensin # Z #:

käytä Heronin kaavaa: # A = qrt {S (S-A) (S-B) (S-C) # missä # S = fr {A + B + C} {2} #, ala-alueella 9, ja sidelengths 6 ja 9.

# S = fr {15 + z} {2} #

# 9 = qr {(fr {15 + Z} {2}) (fr {Z + 3} {2}) (fr {Z-3} {2}) (fr {15 - z} { 2}) #

# 81 = fr {(225-Z ^ 2) (Z ^ 2 - 9)} {16} #

# 1296 = -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-2025 #

# -Z ^ 4 + 234Z ^ 2-3321 = 0 #

Päästää # u = Z ^ 2 #, # -u ^ 2 + 234u-3321 = 0 #

käytä nelikulmaista kaavaa

# u = fr {-b} pm {b ^ 2-4ac}} {2a} #

# u = 9 (13-8 sqrt {2}), u = 9 (8 sqrt {2} +13) #

# Z = qrt {u} # Hylkää negatiiviset ratkaisut # Z> 0 #

# Z = 3 qrt {13-8 qrt {2}}, Z = 3 qrt {8qrt {2} +13} #

Täten # Z noin 3,895718613 # ja # 14.79267983 # vastaavasti

#, koska kolmio A teksti {samanlainen} kolmio B, alue _ {kolmio B} = k ^ 2 * alue _ {kolmioA} # missä # K # on kokoa muuttava tekijä

# k = 12 / s # missä järjestetään nousevassa järjestyksessä: #s {3qrt {13-8qrt {2}}, 6, 9,3 qrt {8qrt {2} +13}} #

tai desimaalimuodossa: #s osoitteessa {3.895718613, 6, 9,14.79267983} #

Mitä suurempi arvo on # S #, sitä pienempi alue ja sitä pienempi arvo # S #, sitä suurempi alue on

Täten aluevalinnan minimoimiseksi # s = 3 qrt {13-8 qrt {2}} #

ja maksimoida alueen valitseminen # s = 3 qrt {8} +13} #

Näin ollen minimialue # = 9 * {{}} {3} {2} {2}

# = fr {144 (13 -8qrt {2})} {41} noin 5.922584784 … #

ja suurin alue # = 9 * fr {12} {3 qrt {13-8qrt {2}}} 2 #

# = fr {144 (13 + 8qrt {2})} {41} noin 85,39448839 … #