Kolmion A pinta-ala on 4 ja kaksi sivua pituudeltaan 8 ja 4. Kolmio B on samanlainen kuin kolmio A ja sen sivun pituus on 13. Mitkä ovat kolmion B suurimmat ja pienimmät mahdolliset alueet?

Kolmion A pinta-ala on 4 ja kaksi sivua pituudeltaan 8 ja 4. Kolmio B on samanlainen kuin kolmio A ja sen sivun pituus on 13. Mitkä ovat kolmion B suurimmat ja pienimmät mahdolliset alueet?
Anonim

Vastaus:

# "Max" = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

# "Min" = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #

Selitys:

Anna kolmion huippujen # A # merkitään # P #, # Q #, # R #, kanssa #PQ = 8 # ja #QR = 4 #.

Käyttämällä Heronin kaavaa

# "Alue" = sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #, missä

#S = {PQ + QR + PR} / 2 # on puolipiste,

meillä on

#S = {8 + 4 + PR} / 2 = {12 + PR} / 2 #

Täten,

#sqrt {S (S-PQ) (S-QR) (S-PR)} #

# = sqrt {({12 + PQ} / 2) ({12 + PQ} / 2-8) ({12 + PQ} / 2-4) ({12 + PQ} / 2-PQ)} #

# = sqrt {(12 + PQ) (PQ - 4) (4 + PQ) (12 - PQ)} / 4 #

# = "Alue" = 4 #

Ratkaise # C #.

#sqrt {(144 - PQ ^ 2) (PQ ^ 2 - 16)} = 16 #

# (PQ ^ 2 - 144) (PQ ^ 2 - 16) = -256 #

# PQ ^ 4 - 160 PQ ^ 2 + 2304 = -256 #

# (PQ ^ 2) ^ 2 - 160 PQ ^ 2 + 2560 = 0 #

Täytä neliö.

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 + 2560 = 80 ^ 2 #

# ((PQ ^ 2) ^ 2 - 80) ^ 2 = 3840 #

# PQ ^ 2 = 80 + 16sqrt15 # tai # PQ ^ 2 = 80 -16sqrt15 #

#PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 # tai

#PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #

Tämä osoittaa, että on olemassa kaksi mahdollista kolmiota, jotka täyttävät annetut ehdot.

Jos kyseessä on kolmion korkein pinta-ala, haluamme, että sivu, jonka pituus on 13, on samanlainen kuin kolmion, jossa on #PQ = 4 sqrt {5 - sqrt15} ~~ 4.246 #.

Siksi lineaarinen mittasuhde on

# 13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}} ~~ 3.061 #

Alue on siis suurennettu tekijään, joka on lineaarisen skaalaussuhteen neliö. Näin ollen max-alueen kolmio B voi olla

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 - sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 + sqrt15) ~~ 37.488 #

Vastaavasti, kun kyseessä on minialue kolmion ollessa kyseessä, haluamme, että sivu, jonka pituus on 13, on samanlainen kuin kolmion, jossa on #PQ = 4 sqrt {5 + sqrt15} ~~ 11.915 #.

Siksi lineaarinen mittasuhde on

# 13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}} ~~ 1.091 #

Alue on siis suurennettu tekijään, joka on lineaarisen skaalaussuhteen neliö. Siksi minialueen kolmio B voi olla

# 4 xx (13 / {4 sqrt {5 + sqrt15}}) ^ 2 = 169/40 (5 - sqrt15) ~~ 4.762 #