Miten löydät dx / (cos (x) - 1) antiversion?

Vastaus:

Tee jonkin verran konjugoitua kertolaskua, ota käyttöön joitakin liipaisuja ja lopeta # Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #

Selitys:

Kuten useimmissa tämäntyyppisissä ongelmissa, ratkaisemme sen käyttämällä konjugaattikertointa. Aina kun sinulla on jotain jaettua jotain plus / miinus jotain (kuten # 1 / (cosx-1) #), on aina hyödyllistä kokeilla konjugoitua kertolaskua, erityisesti liipaisutoiminnoilla.

Aloitamme kertomalla # 1 / (cosx-1) # konjugaatilla # Cosx-1 #, mikä on # Cosx + 1 #:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) #

Saatat ihmetellä, miksi teemme tämän. Se on niin, että voimme soveltaa neliöominaisuuksien eroa, # (A-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 #nimittäjänä yksinkertaistaa sitä vähän. Takaisin ongelmaan:

# 1 / (cosx-1) * (cosx + 1) / (cosx + 1) = (cosx + 1) / ((cosx-1) (cosx + 1)) #

# (Underbrace (cosx) -underbrace (1)) (underbrace (cosx) + underbrace1)) #

#COLOR (valkoinen) (III) acolor (valkoinen) (XXX) bcolor (valkoinen) (XXX) acolor (valkoinen) (XXX) b #

Huomaa, miten tämä on olennaisesti # (A-b) (a + b) #.

# = (Cosx + 1) / (cos ^ 2x-1) #

Entä sitten # Cos ^ 2x-1 #? No, tiedämme # Sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Kerrotaan, että #-1# ja katso, mitä saamme:

# -1 (sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x) -> - sin ^ 2x = -1 + cos ^ 2x #

# = Cos ^ 2-1 #

Selvää, että # Sin ^ 2x = cos ^ 2x-1 #, joten vaihdetaan # Cos ^ 2x-1 #:

# (Cosx + 1) / (- sin ^ 2 x #

Tämä vastaa # Cosx / sin ^ 2x + 1 / sin ^ 2x #, joka käyttämällä jotakin trigiä, kiehuu # -Cotxcscx-CSC ^ 2x #.

Tässä vaiheessa olemme yksinkertaistaneet integraaliksi # Int1 / (cosx-1) dx # että # Int-cotxcscx-CSC ^ 2xdx #. Tästä tulee summa-sääntö:

# Int-cotxcscxdx + int-CSC ^ 2xdx #

Ensimmäinen niistä on # Cscx # (koska. t # Cscx # on # -Cotxcscx #) ja toinen on # Cotx # (koska. t # Cotx # on # -Csc ^ 2x #). Lisää integraation jatkuvuuteen # C # ja sinulla on ratkaisu:

# Int1 / (cosx-1) dx = cscx + cotx + C #