Mikä on int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Vastaus:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Selitys:

Tämä selitys on vähän pitkä, mutta en löytänyt nopeampaa tapaa tehdä se …

Integraali on lineaarinen sovellus, joten voit jo jakaa toiminnon yhtenäisen merkin alla.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Ensimmäiset termit ovat polynomifunktioita, joten ne on helppo integroida. Näytän sinulle, miten se tehdään # X ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # niin # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Teet täsmälleen saman asian # X ^ 3 #, tulos on #255/4#.

havainto #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX # on vähän pitkä ja monimutkainen. Ensin kerrot fraktio #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # ja sitten muutat muuttujan: sanotaan #u = sqrt (x-1) #. Niin # Du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # ja sinun täytyy nyt löytää # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Sen löytämiseksi tarvitset rationaalisen funktion osittaisen murto-osan hajoamisen # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # kanssa # a, b, c, d RR: ssä. Laskun jälkeen saamme selville # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, mikä tarkoittaa sitä # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

# int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # on hyvin tunnettu, se on #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Lopuksi # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Vaihdat # U # sen alkuperäisellä ilmaisulla # X # olla #intsqrt (x-1) / x ^ 2DX #, mikä on #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Joten lopuksi # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #