Mikä numero tuottaa irrationaalisen numeron, kun se lisätään 1/4: een?

Vastaus:

Mikä tahansa irrationaalinen numero, esim. #sqrt (2) #

Selitys:

#x + 1/4 # on järjetöntä jos ja vain jos # X # on järjetöntä.

vastaavasti #x + 1/4 # on järkevää, jos ja vain jos # X # on järkevä.

Tämän todistamiseksi voimme toimia seuraavasti:

Oletetaan ensin # X + 1/4 # on järkevä.

Sitten on joitakin kokonaislukuja #p, q #, kanssa #q> 0 # siten, että:

# x + 1/4 = p / q #

vähentämällä #1/4# molemmilta puolilta:

#x = p / q - 1/4 = (4p-q) / (4q) #

joka on järkevä.

Päinvastoin, jos # X # on järkevä, sitten on kokonaislukuja #m, n # kanssa #n> 0 # niin että #x = m / n # ja löydämme:

# x + 1/4 = m / n + 1/4 = (4m + n) / (4n) #

joka on myös järkevä.