Miten osoitat arcsin x + arccos x = pi / 2?

Vastaus:

kuten on esitetty

Selitys:

Päästää

# Arcsinx = theta #

sitten

# X = sintheta = cos (pi / 2-theeta) #

# => Arccosx = pi / 2-theta = pi / 2-arcsinx #

# => Arccosx = pi / 2-arcsinx #

# => Arcsinx + arccosx = pi / 2 #

Vastaus:

Lausunto on totta, kun käänteiset liipaisutoiminnot viittaavat pääarvoihin, mutta se vaatii tarkempaa huomiota näytettävään kuin toinen vastaus.

Kun käänteiset liipaisutoiminnot katsotaan moniarvoisiksi, saadaan esimerkiksi enemmän hienostunut tulos

#x = sin ({3 pi} / 4) = cos (pi / 4) = 1 / sqrt {2} quad # mutta #quad {3pi} / 4 + pi / 4 = pi. #

Meidän on vähennettävä saadaksemme # Pi / 2 #.

Selitys:

Tämä on hankalampaa kuin se näyttää. Toinen vastaus ei maksa sitä kunnolla.

Yleissopimus on pienen kirjaimen käyttäminen #arccos (x) # ja #arcsin (x) # moniarvoisina ilmaisuina, joista kukin osoittaa kaikki arvot, joiden kosinilla tai sinillä on tietty arvo # X #.

Niiden summan merkitys on oikeastaan jokainen mahdollinen yhdistelmä, ja ne eivät aina antaneet # Pi / 2. # He eivät edes anna yhtäkään kotikorkeutta # / 2 + 2pi k quad # kokonaisluku # K #, kuten nyt näytämme.

Katsotaanpa, miten se toimii moniulotteisten käänteisten liipaisutoimintojen kanssa ensin. Muista yleisesti # cos x = cos a # on ratkaisuja # x = pm a + 2pi k quad # kokonaisluku # K #.

# c = arccos x # todella tarkoittaa

#x = cos c #

#s = arcsin x # todella tarkoittaa

#x = sin s #

#y = s + c #

# X # pelaa todellisen parametrin roolia, joka pyyhkäisee #-1# että #1#. Haluamme ratkaista # Y #, etsi kaikki mahdolliset arvot # Y # joilla on #x, s # ja # C # joka tekee nämä samanaikaiset yhtälöt #x = cos c, x = sin s, y = s + c # totta.

#sin s = x = cos c #

#cos (pi / 2 - s) = cos c #

Käytämme edellä mainittua yleistä ratkaisua kosinien tasa-arvoon.

# pi / 2 - s = pm c + 2pi k quad # kokonaisluku # K #

# s pm c = pi / 2 - 2pi k #

Joten saamme paljon sumuttoman tuloksen, #arcsin x pm arcsin c = pi / 2 + 2pi k #

(On mahdollista kääntää merkki päälle # K. #)

Keskitymme nyt tärkeimpiin arvoihin, jotka kirjoitan suurilla kirjaimilla:

Show #text {Arc} teksti {sin} (x) + teksti {Arc} teksti {cos} (x) = pi / 2 #

Lausunto on todellakin totta tavanomaisella tavalla määriteltyjen pääarvojen osalta.

Summa määritellään vain (kunnes saamme melko syvälle monimutkaisiin numeroihin) # 1 le x le 1 # koska voimassa olevat sinesit ja kosinit ovat tällä alueella.

Katsomme vastaavan kummallekin puolelle

# text {Arc} teksti {cos} (x) stackrel {?} {=} pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x) #

Otamme kummankin osapuolen kosinin.

#cos (teksti {Arc} teksti {cos} (x)) = x #

#cos (pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x)) = sin (teksti {Arc} teksti {sin} (x)) = x #

Joten ilman huolta merkkien tai tärkeimpien arvojen suhteen

#cos (teksti {Arc} teksti {cos} (x)) = cos (pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x)) #

Vaikea osa, se osa, joka ansaitsee kunnioituksen, on seuraava askel:

#text {Arc} teksti {cos} (x) = pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x) quad # EI VARMA VIELÄ

Meidän on kuljettava huolellisesti. Otetaan positiivinen ja negatiivinen # X # erikseen.

Ensimmäinen # 0 le x le 1 #. Tämä tarkoittaa, että molempien käänteisten liipaisutoimintojen pääarvot ovat ensimmäisessä neljänneksessä #0# ja # Pi / 2. # Ensimmäiseen neljännekseen rajoittunut tasa-arvoiset kosinit merkitsevät yhtä suuria kulmia, joten päätämme #x ge 0, #

#text {Arc} teksti {cos} (x) = pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x) quad #

Nyt # -1 le x <0. # Käänteisen merkin pääarvo on neljännellä neljänneksellä ja #x <0 # määrittelemme tavallisesti alueen pääarvon

# - p / 2 le teksti {Arc} teksti {sin} (x) <0 #

# pi / 2 ge - teksti {Arc} teksti {sin} (x)> 0 #

#pi ge pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x)> pi / 2 #

# pi / 2 <pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x) le pi #

Negatiivisen käänteisen kosinin pääarvo on toinen kvadrantti, # / <<teksti {Arc} teksti {cos} (x) le pi #

Joten toisessa neljänneksessä on kaksi kulmaa, joiden kosinit ovat yhtäläiset, ja voimme päätellä, että kulmat ovat yhtä suuret. varten #x <0 #, #text {Arc} teksti {cos} (x) = pi / 2 - teksti {Arc} teksti {sin} (x) quad #

Joten kumpikin tapa

# text {Arc} teksti {sin} (x) + teksti {Arc} teksti {cos} (x) = pi / 2 quad sqrt #