Kolmion A pinta-ala on 12 ja kaksi sivua pituudeltaan 4 ja 8. Kolmio B on samanlainen kuin kolmio A ja sen pituus on 7. Mitkä ovat kolmion B suurimmat ja pienimmät mahdolliset alueet?

Kolmion A pinta-ala on 12 ja kaksi sivua pituudeltaan 4 ja 8. Kolmio B on samanlainen kuin kolmio A ja sen pituus on 7. Mitkä ovat kolmion B suurimmat ja pienimmät mahdolliset alueet?
Anonim

Vastaus:

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #

Selitys:

Ensin on löydettävä enimmäiskoon kolmion A sivupituudet, kun pisin sivu on suurempi kuin 4 ja 8 ja vähimmäiskoon kolmio, kun 8 on pisin sivu.

Tehdä tämä käytä Heronin Area-kaavaa: #s = (a + b + c) / 2 # missä #a, b, & c # ovat kolmion sivupituudet:

#A = sqrt (s (s-a) (s-b) (s-c)) #

Päästää #a = 8, b = 4 "&" c "on tuntematon sivupituus" #

#s = (12 + c) / 2 = 6 + 1 / 2c #

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (6 + 1 / 2c-4) (6 + 1 / 2c-8) (6 + 1 / 2c-c))

#A_A = 12 = sqrt ((6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c)) #

Neliöpuoli:

# 144 = (6 + 1 / 2c) (2 + 1 / 2c) (- 2 + 1 / 2c) (6-1 / 2c) #

Vedä 1/2 jokaisesta tekijästä:

# 144 = 1/16 (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

Yksinkertaistaa:

# 2304 = (12 + c) (4 + c) (- 4 + c) (12-c) #

# 2304 = (48 + 8c-c ^ 2) (- 48 + 8c + c ^ 2) #

# 2304 = -2304 + 384c + 48c ^ 2 - 384c + 64c ^ 2 + 8c ^ 3 + 48c ^ 2-8c ^ 3-c ^ 4 #

# c ^ 4 - 160c ^ 2 + 4608 = 0 #

* Varajäsen #x = c ^ 2 *: "" x ^ 2 -160x + 4608 = 0 #

Käytä neliön täyttämistä:

# (x ^ 2-160x) = -4608 #

# (x - 160/2) ^ 2 = -4608 + (-160/2) ^ 2 #

# (x-80) ^ 2 = 1792 #

Neliöjuuri molemmin puolin:

# x-80 = + -sqrt (1792) #

#x = 80 + -sqrt (16) sqrt (16) sqrt (7) #

#x = 80 + -16 sqrt (7) #

korvike # c ^ 2 = x #:

# c ^ 2 = 80 + -16 sqrt (7) #

#c = + - sqrt (80 + -16 sqrt (7)) #

Koska kolmion sivupituudet ovat positiivisia, meidän on sivuutettava negatiiviset vastaukset:

Kolmion A vähimmäis- ja enimmäispituudet:

#c = sqrt (80 + -16 sqrt (7)) ~~ 6.137, 11.06 #

Siitä asti kun kolmioiden pinta-ala on verrannollinen sivupituuksien neliöön löydämme kolmion B suurimmat ja pienimmät alueet:

# A_B / A_A = (7/4) ^ 2; "" A_B = (7/4) ^ 2 * 12 = 36,75 #

# A_B / A_A = (7/8) ^ 2; "" A_B = (7/8) ^ 2 * 12 = 9.1875 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 11.06) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 11.06) ^ 2 * 12 ~~ 4.8 #

# A_B / A_A ~~ (7 / 6.137) ^ 2; "" A_B ~~ (7 / 6.137) ^ 2 * 12 ~~ 15.6 #

#A_ "Bmin" ~~ 4.8 #

#A_ "Bmax" = 36,75 #