Kahden samankeskisen ympyrän säteet ovat 16 cm ja 10 cm. AB on isomman ympyrän halkaisija. BD on tangentti pienemmälle ympyrälle, joka koskettaa sitä D. Mikä on AD: n pituus?

Vastaus:

#bar (AD) = 23,5797 #

Selitys:

Alkuperän hyväksyminen #(0,0)# yhteinen keskus # C_i # ja # C_e # ja kutsutaan # R_i = 10 # ja # R_e = 16 # tangenssipiste # P_0 = (x_0, y_0) # on risteyksessä #C_i nn C_0 # missä

# C_i-> x ^ 2 + y ^ 2 = R_i ^ 2 #

# C_e-> x ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2 #

# C_0 -> (x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_0 ^ 2 #

tässä # r_0 ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Ratkaisu #C_i nn C_0 # meillä on

# {(X ^ 2 + y ^ 2 = R_i ^ 2), ((x-r_e) ^ 2 + y ^ 2 = r_e ^ 2-R_i ^ 2):} #

Ensimmäisen erottaminen toisesta yhtälöstä

# -2xr_e + r_e ^ 2 = r_e ^ 2-R_i ^ 2-R_i ^ 2 # niin

# x_0 = r_i ^ 2 / r_e # ja # y_0 ^ 2 = r_i ^ 2-x_0 ^ 2 #

Lopuksi haettu etäisyys on

#bar (AD) = sqrt ((r_e + x_0) ^ 2 + y_0 ^ 2) = sqrt (r_e ^ 2 + 3r_i ^ 2) #

tai

#bar (AD) = 23,5797 #

Selitys:

Jos #bar (BD) # on tangentti # C_i # sitten #hat (ODB) = pi / 2 # jotta voimme hakea pythagoria:

#bar (OD) ^ 2 + bar (DB) ^ 2 = bar (OB) ^ 2 # määritetään # R_0 #

# r_0 ^ 2 = bar (OB) ^ 2-bar (OD) ^ 2 = r_e ^ 2-r_i ^ 2 #

Kohta # D # koordinaatit # (X_0, y_0) # olisi hankittava ennen haetun matkan laskemista #bar (AD) #

On monia tapoja tehdä se. Vaihtoehtoinen menetelmä on

# Y_0 = bar (BD) sin (hat (OBD)) # mutta #sin (hat (OBD)) = bar (OD) / bar (OB) #

sitten

# y_0 = sqrt (r_e ^ 2-r_i ^ 2) (r_i / r_e) # ja

# X_0 = sqrt (R_i ^ 2-y_0 ^ 2) #

Annettujen tietojen mukaan edellä oleva kuva on piirretty.

O on kahden samankeskisen ympyrän yhteinen keskus

#AB -> "isomman ympyrän halkaisija" #

# AO = OB -> "isomman ympyrän säde" = 16 cm #

#DO -> "pienemmän ympyrän säde" = 10cm #

#BD -> "pienemmän ympyrän tangentti" -> / _ BDO = 90 ^ @ #

Päästää # / _ DOB = theta => / _ AOD = (180-theta) #

Sisään #Delta BDO-> cos / _BOD = costeta = (OD) / (OB) = 10/16 #

Kosinilainsäädännön soveltaminen #Delta ADO # saamme

# AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos / _AOD #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2-2AO * Docos (180-theta) #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + grammaa 2ao: a * DOcostheta #

# => AD ^ 2 = AO ^ 2 + DO ^ 2 + grammaa 2ao: a * DOxx (OD) / (OB) #

# => AD ^ 2 = 16 ^ 2 + 10 ^ 2 + 2xx16xx10xx10 / 16 #

# => AD ^ 2 = 556 #

# => AD = sqrt556 = 23.58cm #