Precalculus

Tämän muodon nelikulmio on aina parabola. Meillä on muutamia asioita, joita voimme kertoa vain yhtälöstä: 1) johtava kerroin on 1, mikä on positiivinen, joten parabola avautuu. 2) koska parabola avautuu, "loppukäyttäytyminen" on molemmat päätyä. 3) koska parabola avautuu, kaaviossa on minimipiste sen kärjessä. Etsi nyt huippu. Tätä voidaan tehdä useilla tavoilla, mukaan lukien kaavan -b / (2a) käyttäminen x-arvoon. (- (- 4)) / (2 * 1) = 4/2 = 2 Korvaa x = 2 ja etsi y-arvo: (2) ^ 2-4 (2) = 4 - 8 = -4 Vertex on löyty Lue lisää »

Monet asiat matematiikan eri aloilla. Seuraavassa on muutamia esimerkkejä: Todennäköisyys (Combinatorics) Jos reilu kolikko heitetään 10 kertaa, mikä on todennäköisyys täsmälleen 6 päähän? Vastaus: (10!) / (6! 4! 2 ^ 10) Sarja sin, cos ja eksponentiaalitoiminnoille sin (x) = x - x ^ 3 / (3!) + X ^ 5 / (5!) -X ^ 7 / (7!) + ... cos (x) = 1 - x ^ 2 / (2!) + X ^ 4 / (4!) - x ^ 6 / (6!) + ... e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + x ^ 4 / (4!) + ... Taylor-sarja f (x) = f (a) / (0 !) + (f (a)) / (1!) (xa) + (f '(a)) / (2!) (xa) ^ 2 + (f' '' Lue lisää »

Katso alla oleva selitys. Toiminnon raja-arvo "äärettömässä" on: numero, jonka f (x) (tai y) lähestyy, kun x kasvaa ilman sidottua. Raja äärettömässä on raja, kun itsenäinen muuttuja kasvaa ilman sidottua. Määritelmä on: lim_ (xrarroo) f (x) = L, jos ja vain jos: jos tahansa epsilonille, joka on positiivinen, on luku m, että: jos x> M, sitten abs (f (x) -L) < epsilon. Esimerkiksi kun x kasvaa ilman sidottua, 1 / x on lähempänä ja lähempänä 0. Esimerkki 2: kun x kasvaa ilman sidottua, 7 / x lähe Lue lisää »

Pisteitä johonkin toimintoon, jossa esiintyy paikallinen enimmäis- tai vähimmäisarvo. Jatkuvassa toiminnassa koko verkkotunnuksensa kohdalla on nämä kohdat, joissa funktion = 0 kaltevuus (ts. Se on ensimmäinen johdannainen on 0). Tarkastellaan jonkin verran jatkuvaa funktiota f (x) F (x): n kaltevuus on nolla, jossa f '(x) = 0 jossain kohdassa (a, f (a)). Sitten f (a) on f (x) N.B.: n paikallinen ääriarvo (maksimi tai minimi). Absoluuttinen ääriarvo on osa paikallista äärimmäistä. Nämä ovat pisteitä, joissa f (a) on f (x): n ä Lue lisää »

Yhtenäisyyden juurena on monimutkainen numero, joka kun se nostetaan johonkin positiiviseen kokonaislukuun palaa 1. Se on mikä tahansa kompleksiluku z, joka täyttää seuraavan yhtälön: z ^ n = 1 missä n NN: ssä, eli n on luonnollinen määrä. Luonnollinen numero on mikä tahansa positiivinen kokonaisluku: (n = 1, 2, 3, ...). Tätä kutsutaan joskus laskentanumeroksi ja sen merkintä on NN. Minkä tahansa n: n kohdalla voi olla useita z-arvoja, jotka täyttävät tämän yhtälön, ja nämä arvot muodostavat yks Lue lisää »

Luultavasti yksi yleisimmistä virheistä on unohtaa sulkea joitakin toimintoja. Esimerkiksi, jos aion kuvata y = 5 ^ (2x) ongelman mukaan, jotkut opiskelijat voivat laittaa laskimen 5 ^ 2x. Laskin lukee kuitenkin, että se on 5 ^ 2x eikä annettu. Siksi on tärkeää asettaa suluissa ja kirjoittaa 5 ^ (2x). Logistisia toimintoja varten yksi virhe voi sisältää luonnollisen lokin vs. lokin väärän käytön, kuten: y = ln (2x), joka on e ^ y = 2x; verrattuna y = log (2x), joka on 10 ^ y = 2x. Eksponenttiset muunnokset logistisiin toimintoihin voivat olla my Lue lisää »

(1) f (x) = x ^ 2, (2) g (x) = sin (x) (3) h (x) = 3x + 1 Toiminto on jatkuvaa, intuitiivisesti, jos se voidaan vetää (ts. ) ilman, että lyijykynä (tai kynä) on nostettava paperista. Toisin sanoen lähestymällä mihin tahansa pisteeseen x, vasemmanpuoleisen funktion alueella, eli x-epsilon, kuten epsilon -> 0, tuottaa saman arvon kuin lähestyy samaa kohtaa oikealta, eli x + epsilon, kuten ε 0. Näin on jokaisen luetellun toiminnon kohdalla. Toimintoa d (x), jonka määrittelee: d (x) = 1, jos x> = 0, ja d (x) = -1, jos x <0., ei tapahdu. 0: ssa, kun lähe Lue lisää »

Tässä on kolme merkittävää esimerkkiä ... Geometrinen sarja Jos abs (r) <1, geometrisen sarjan a_n = r ^ n a_0 summa on konvergenssi: summa_ (n = 0) ^ oo (r ^ n a_0) = a_0 / (1-r) Eksponentiaalitoiminto e ^ x: n määrittelevä sarja on konvergenssi minkä tahansa arvon x: e ^ x = sum_ (n = 0) ^ oo x ^ n / (n!) Suhteen. olkoon N kokonaisluku, joka on suurempi kuin abs (x). Sitten sum_ (n = 0) ^ N x ^ n / (n!) Konvergoituu, koska se on äärellinen summa ja summa_ (n = N + 1) ^ oo x ^ n / (n!) Konvergoituu, koska absoluuttinen arvo on peräkkäisten termien su Lue lisää »

Perusfunktioiden loppukäyttäytyminen on seuraava: Constants Vakio on funktio, joka ottaa saman arvon jokaiselle x: lle, joten jos f (x) = c jokaiselle x: lle, niin tietenkin myös raja kuin x lähestyy t on vielä c. Polynomit Odd kraadi: parittoman asteen polynomit "kunnioittavat" äärettömyyttä, johon x lähestyy. Joten, jos f (x) on pariton polynomi, sinulla on kyseinen lim_ {x -fty} f (x) = - pituus ja lim_ {x = + infty} f (x) = + t ; Jopa aste: polynomit jopa asteen yleensä + infty riippumatta mihin suuntaan x lähestyy, niin sinulla on, että lim_ {x Lue lisää »

Esimerkki 1: Nousu tasaiselle teholle Ratkaise x = juuret (4) (5x ^ 2-4). Kummankin sivun nostaminen 4 ^ (th): een antaa x ^ 4 = 5x ^ 2-4. Tämä vaatii, x ^ 4-5x ^ 2 + 4 = 0. Faktorointi antaa (x ^ 2-1) (x ^ 2-4) = 0. Joten tarvitsemme (x + 1) (x-1) (x + 2) (x-2) = 0. Viimeisen yhtälön ratkaisusarja on {-1, 1, -2, 2}. Näiden tarkistaminen osoittaa, että -1 ja -2 eivät ole ratkaisuja alkuperäiseen yhtälöön. Palauta, että juuri (4) x tarkoittaa ei-negatiivista neljäsjuurta.) Esimerkki 2 Kerrotaan nollaan Jos ratkaista (x + 3) / x = 5 / x ristikertoimella, saat x Lue lisää »

Toiminnon muodostaminen on syöttää toinen funktio toiseen muodostaen toisen toiminnon. Seuraavassa on muutamia esimerkkejä. Esimerkki 1: Jos f (x) = 2x + 5 ja g (x) = 4x - 1, määritä f (g (x)) Tämä merkitsisi g (x): n syöttämistä x: lle f (x): n sisällä. f (g (x)) = 2 (4x-1) + 5 = 8x- 2 + 5 = 8x + 3 Esimerkki 2: Jos f (x) = 3x ^ 2 + 12 + 12x ja g (x) = sqrt ( 3x), määrittele g (f (x)) ja ilmaise domeeni Put f (x) g (x): ksi. g (f (x)) = sqrt (3 (3x ^ 2 + 12x + 12)) g (f (x)) = sqrt (9x ^ 2 + 36x + 36) g (f (x)) = sqrt (( 3x + 6) ^ 2) g (f (x)) Lue lisää »

Esimerkki 1: f (x) = x ^ 2 / {(x + 2) (x-3)} pystysuuntaiset asymptootit: x = -2 ja x = 3 vaakasuoraa asymptoottia: y = 1 kalteva asymptoote: ei mitään Esimerkki 2: g ( x) = e ^ x pystysuora asymptootti: Ei horisontaalista asymptoottia: y = 0: n kalteva asymptooti: Ei mitään Esimerkki 3: h (x) = x + 1 / x pystysuora asymptoosi: x = 0 vaakasuuntainen asymptooti: ei yhtäkään vinoviiva: y = x I Toivon, että tämä oli hyödyllistä. Lue lisää »

Seuraavassa on muutamia esimerkkejä ... Tässä on esimerkki animaatio pitkästä jakamisesta x ^ 3 + x ^ 2-x-1 x-1: llä (joka jakaa tarkasti). Kirjoita osinko palkin alla ja jakaja vasemmalle. Kukin on kirjoitettu x: n laskevassa järjestyksessä. Jos jokin x: n teho puuttuu, lisää se 0-kertoimella. Jos esimerkiksi jaat x ^ 2-1: llä, voit jakaa jakajan x ^ 2 + 0x-1: ksi. Valitse osamäärän ensimmäinen termi, joka johtaa johtavien termien vastaavuuteen. Esimerkissä valitsemme x ^ 2, koska (x-1) * x ^ 2 = x ^ 3-x ^ 2 vastaa osingon johtavaa x ^ 3-termi Lue lisää »

Tämä on suora skalaari kerrottaminen ja sitten matriisien vähentäminen. Matriisien skalaarinen kertolasku tarkoittaa yksinkertaisesti sitä, että jokainen matriisin elementti kerrotaan vakiolla. Niinpä jokainen elementti A: ssa kerrotaan 2: lla. Sitten matriisin vähennys (ja lisäys) suoritetaan elementtielementin vähentämisellä. Tässä tapauksessa 2 (-8) = -16. Sitten vähennät 1: n B: n oikeassa yläkulmassa, jolloin saat -16 - 1 = -17. Joten a = 17 Lue lisää »

Joitakin vaihtelualueita: ammunta-alue, liesi + uuni, aseen alue (verbinä) liikkumiseen, koti alueelle jne. Ei, mutta vakavasti, alue on joko funktion y-arvojen joukko tai numeroiden joukon alimman ja korkeimman arvon välinen ero. Yhtälölle y = 3x-2 alue on kaikki reaaliluvut, koska jokin x: n arvo voidaan syöttää tuottamaan mikä tahansa reaaliluku y (y = RR). Yhtälölle y = sqrt (x-3) alue on kaikki reaaliluvut, jotka ovat suurempia tai yhtä suuria kuin 3 (y = RR> = 3). Yhtälölle y = (x-1) / (x ^ 2-1) alue on kaikki reaaliluvut, jotka eivät ole yht Lue lisää »

(2x + 3) ^ 3 = 8x ^ 3 + 36x ^ 2 + 54x + 27 Pascalin kolmion avulla on helppo löytää jokainen binominen laajennus: jokainen tämän kolmion termi on kahden sanan summa, joka on kärkilinja. (esimerkki punaisena) 1 1. 1 väri (sininen) (1. 2. 1) 1. väri (punainen) 3. väri (punainen) 3. 1 1. 4. väri (punainen) 6. 4. 1 ... Enemmän, jokaisella rivillä on yksi binomiaalinen laajennus: 1. rivi, teho 0, toinen, teho 1, kolmas, teho 2 ... Esimerkiksi: (a + b ) ^ 2 käytämme kolmannen rivin sinisenä seuraavan laajennuksen jälkeen: (a + b) ^ 2 = väri (sin Lue lisää »

Se ei liiku tai ei ole aina määritelty. Kahden neliömatriisin tuote (neliömatriisi on matriisi, jolla on sama määrä rivejä ja sarakkeita) AB ei aina vastaa BA: ta. Kokeile sitä A = ((0,1), (0,0)) ja B = ((0,0), (0,1)) avulla. Jos haluat laskea kahden suorakulmaisen matriisin C ja D tuotteen, jos haluat CD: n, että C tarvitsee saman määrän sarakkeita kuin D-rivien määrä. Jos haluat DC: n, se on sama ongelma sarakkeiden lukumäärän kanssa D ja C-rivien lukumäärä Lue lisää »

X ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x + 2)) Meidän täytyy kirjoittaa nämä kullekin tekijälle. x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = A / (x-1) + B / (x + 2) x ^ 2 = A (x + 2) + B (x-1) x = -2: (-2) ^ 2 = A (-2 + 2) + B (-2-1) 4 = -3B B = -4 / 3 x = 1: 1 ^ 2 = A ( 1 + 2) + B (1-1) 1 = 3A A = 1/3 x ^ 2 / ((x-1) (x + 2)) = (1/3) / (x-1) + (- 4/3) / (x + 2) väri (valkoinen) (x ^ 2 / ((x-1) (x + 2))) = 1 / (3 (x-1)) - 4 / (3 (x +2)) Lue lisää »

"Katso selitys" i "on numero, jonka ominaisuus on" i ^ 2 = -1. "Jos täytät" 5i ", saat" (5 i) ^ 2 + 23 = 25 i ^ 2 + 23 = 25 * -1 + 23 = -2! = 6 "Joten" 5 i "ei ole ratkaisu." "Lisääminen ja kertominen" i ": n kanssa menee aivan kuten normaalien" "reaalilukujen kanssa, sinun tarvitsee vain muistaa, että" i ^ 2 = -1. "" I ": n pariton teho ei voi muuttua reaalilukuksi:" "(5 i) ^ 3 = 125 * i ^ 3 = 125 * i ^ 2 * i = 125 * -1 * i = -125 i. "Joten kuvitteellinen yksikkö" i &qu Lue lisää »

ääretön csc x = 1 / sin x 0,5 csc x = 0,5 / sin x mikä tahansa luku, joka on jaettu 0: lla, antaa määrittelemättömän tuloksen, joten 0,5 yli 0 on aina määrittelemätön. funktio g (x) määritetään millä tahansa x-arvolla, jolle sin x = 0. 0 ^ @ - 360 ^ @, x-arvot, joissa sin x = 0 ovat 0 ^ @, 180 ^ @ ja 360 ^ @. vaihtoehtoisesti radiaaneissa 0 - 2pi, x-arvot, joissa sin x = 0 ovat 0, pi ja 2pi. koska y = sin x: n kaavio on jaksollinen, arvot, joille sin x = 0 toistaa joka 180 ^ @, tai pi-radiaanit. siksi pisteitä, joiden osalta 1 / Lue lisää »

Kirjoittamalla bitti uudelleen, g (x) = sec2x = 1 / {cos2x}. Tulee pystysuuntaisia asymptootteja, kun nimittäjä muuttuu 0: ksi, ja cos2x tulee nollaan, kun 2x = pi / 2 + npi = {2n + 1} / 2pi kaikille kokonaisluvuille n, joten jakamalla 2: lla, oikeanpuoleinen x = {2n + 1 } / 4pi Näin ollen pystysuorat asymptootit ovat x = {2n + 1} / 4pi kaikille kokonaisluvuille n. Toivon, että tämä oli hyödyllistä. Lue lisää »

Se on ellipsi. Yllä oleva yhtälö voidaan helposti muuntaa ellipsilomakkeeksi (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1, kun kertoimet x ^ 2 andy ^ 2 ovat molemmat positiivisia), missä (h, k) on ellipsin keskipiste ja akseli on 2a ja 2b, suurempana pääakselina toinen pienempi akseli. Voimme myös löytää pisteitä lisäämällä + -a - h (pitämällä ordinaattia samana) ja + -b - k: ksi (pitämällä abscissat samat). Voimme kirjoittaa yhtälön 16x ^ 2 + 25y ^ 2-18x-20y + 8 = 0 kuin 16 (x ^ 2-18 / 16x) +25 (y ^ 2-20 / 25y) = Lue lisää »

Tämä on ympyrä. Täytä haluamasi neliöt: 0 = x ^ 2 + y ^ 2-10x-2y + 10 = (x ^ 2-10x + 25) + (y ^ 2-2y + 1) -16 = (x-5) ^ 2+ (y-1) ^ 2-4 ^ 2 Lisää 4 ^ 2 molempiin päihin ja siirrä saadaksesi: (x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2 = 4 ^ 2, joka on muodossa: (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2 ympyrän yhtälö, keskipiste (h, k) = (5, 1) ja säde r = 4 kaavio {(x ^ 2 + y ^ 2-10x -2y + 10) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0,01) = 0 [-6,59, 13,41, -3,68, 6,32]} Lue lisää »

(3, 3) Pisteen (5, 1) ohella nämä pisteet ovat neliön pisteitä, joten ympyrän keskipiste on diagonaalin keskipisteessä (1, 1) ja (5, 5), eli ((1 + 5) / 2, (1 + 5) / 2) = (3,3) Säde on etäisyys (1, 1) ja (3, 3), eli: sqrt (( 3-1) ^ 2 + (3-1) ^ 2) = sqrt (8) Niinpä ympyrän yhtälö voidaan kirjoittaa: (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = 8-kaavio {( (x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-8) ((x-3) ^ 2 + (y-3) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-1 ) ^ 2-0,01) ((x-5) ^ 2 + (y-1) ^ 2-0,01) ((x-1) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0,01) ((x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2-0,01) ((x-3) ^ 100 + (y-3) ^ 100-2 ^ 100) (xy) (sqrt (17- (x + y-6) ^ Lue lisää »

Ympyrällä on keskipiste i C = (4,5) ja säde r = 7 Keskuksen koordinaattien ja ympyrän säteen löytämiseksi meidän on muutettava yhtälönsä muotoon: (xa) ^ 2 + (yb) ^ 2 = r ^ 2 Tässä esimerkissä voimme tehdä tämän tekemällä: x ^ 2 + y ^ 2-8x-10y-8 = 0 x ^ 2-8x + 16 + y ^ 2-10y + 25-8- 16-25 = 0 (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2-49 = 0 Lopuksi: (x-4) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 49 Tästä yhtälöstä saamme keskuksen ja säde. Lue lisää »

Mikä viileä kysymys! Suunnitteletko valtavan koripallon tapetointia? Kaava on SA = 4pir ^ 2 vain siinä tapauksessa, että haluat laskea sen! Wikipedia antaa sinulle kaavan sekä lisätietoa. Voit jopa käyttää tätä kaavaa laskemaan, kuinka paljon kuun pinta-ala on! Varmista, että noudatat toimintojen järjestystä menemällä: aluksi ruutu säteen, ja kerrot se 4pi: n avulla laskimella, jossa on pi. Pyöritä sopivasti ja merkitse sitten vastaus neliöyksikköinä sen mukaan, mitä pituuden yksikköä käytet Lue lisää »

| sin (x) | <= 1, "ja" arctan (x) / x> = 0 "As" | sin (x) | <= 1 "ja" arctan (x) / x> = 0, "meillä on" | (sin (1 / sqrt (x)) arctan (x)) / (x sqrt (ln (1 + x))) | <= | arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (x sqrt (ln (1 + x))) "(sekä arctan (x) / x ja" sqrt (...)> = 0 ")" = arctan (x) / (sqrt ( x) sqrt (x ^ -1) x sqrt (ln (1 + x))) = arctan (x) / (sqrt (x) x sqrt (x ^ -1 ln (1 + x))) Lue lisää »

Ellipsin ase on kaksi kiinteää pistettä pääakselillaan siten, että minkä tahansa pisteen etäisyyden summa ellipsi, näiltä kahdelta kohdalta, on vakio. Itse asiassa ellipsi on määritelty sellaisten pisteiden paikaksi, että kahden pisteen etäisyyden summa kahdesta kiinteästä pisteestä on aina vakio. Näitä kahta kiinteää pistettä kutsutaan ellipsin fokuksiksi Lue lisää »

Vastaus on: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Ellipsin vakioyhtälö on: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1. Tämä ellipsi on y-akselin kohdalla (F_ (1,2)), koska a <b. Niinpä x_ (F_ (1,2)) = 0 ordinaatit ovat: c = + - sqrt (b ^ 2-a ^ 2) = + - sqrt (64-49) = + - sqrt15. Joten: F_ (1,2) (0, + - sqrt15). Lue lisää »

X: n kokonaislukuarvot ovat 1,3,0,4. Voit kirjoittaa tämän uudelleen seuraavasti x / (x-2) = [(x-2) +2] / (x-2) = 1 + 2 / (x-2 ) Jotta 2 / (x-2) olisi kokonaisluku x-2: n tulee olla yksi 2: n jakajista, jotka ovat + -1 ja + -2 Näin x-2 = -1 => x = 1 x-2 = 1 => x = 3 x-2 = -2 => x = 0 x-2 = 2 => x = 4 Näin x: n kokonaislukuarvot ovat 1,3,0,4 Lue lisää »

Jos kysymys on: "missä kohdassa funktio sieppaa y-akselin?", Vastaus on: missään kohdassa. Tämä johtuu siitä, että jos tämä piste olisi olemassa, sen x-koordinaatin on oltava 0, mutta on mahdotonta antaa tätä arvoa x: lle, koska 0 tekee murto-osuuden (ei ole mahdollista jakaa 0: lle). Jos kysymys on: "missä pisteissä funktio sieppaa x-akselin?", Vastaus on: kaikissa niissä kohdissa, joiden y-koordinaatti on 0. Joten: (x ^ 2-49) / (7x ^ 4) = 0rArrx ^ 2 = 49rArrx = + - 7. Pisteet ovat: (-7,0) ja (7,0). Lue lisää »

X = 7 ja x = (- 7 + -7sqrt (3) i) / 2 Olettaen, että tarkoitat yhtälön monimutkaisia juuria: x ^ 3 = 343 Voimme löytää yhden todellisen juuren ottamalla molempien puolien kolmannen juuren: root (3) (x ^ 3) = juuri (3) (343) x = 7 Tiedämme, että (x-7) on oltava tekijä, koska x = 7 on juuri. Jos tuomme kaiken yhdelle puolelle, voimme käyttää polynomin pitkää jakoa: x ^ 3-343 = 0 (x-7) (x ^ 2 + 7x + 49) = 0 Tiedämme, milloin (x-7) on nolla, mutta löydämme jäljellä olevat juuret ratkaisemalla, kun neliöarvo on nolla. Täm&# Lue lisää »

Laajenna ruudut, korvaa y = rsin (theta) ja x = rcos (theta) ja ratkaise sitten r. Annettu: (x - 1) ^ 2 - (y + 5) ^ 2 = -24 Tässä on kaavio yllä olevasta yhtälöstä: Muunna polaarikoordinaateiksi. Laajenna ruutuja: x ^ 2 -2x + 1 - (y ^ 2 + 10y + 25) = -24 Ryhmittele tehon mukaan: x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y + 1 - 25 = -24 Yhdistä vakioehdot : x ^ 2 - y ^ 2 -2x - 10y = 0 Korvaa rcos (theta) x: lle ja rsin (theta) y: lle: (rcos (theta)) ^ 2 - (rsin (theta)) ^ 2 -2 (rcos (theta)) - 10 (rsin (theta)) = 0 Voit siirtää r: n tekijät (): n ulkopuolelle: (cos ^ 2 (theta) - sin ^ 2 (theta Lue lisää »

-4, 2 ja 3. P (2) = 0. Niinpä n-2 on tekijä. Nyt, P (n) = (n-2) (n ^ 2 + kn-12)). Vertailukerroin n ^ 2 = k-2 ja -3, k = -1. Niinpä P (n) = (n-2) (n ^ 2-n-12) = (4-2) (n + 4) (n-3). Ja niin, kaksi muuta nollaa ovat -4 ja 3.. Lue lisää »

"Mahdolliset" integraaliset nollat ovat: + -1, + -2, + -4 Itse asiassa P (p): llä ei ole rationaalisia nollia. Annettu: P (p) = p ^ 4-2p ^ 3-8p ^ 2 + 3p-4 Rationaalisten juuriteoreettien avulla P (p): n kaikki rationaaliset nollat näkyvät muodossa p / q kokonaislukuille p, q ja pa jakaja vakioajoista -4 ja qa jakajasta johtavan termin kertoimesta 1. Tämä tarkoittaa, että ainoat mahdolliset rationaaliset nollat (jotka myös voivat olla kokonaislukuja) ovat: + -1, + -2, + -4 Käytännössä havaitsemme, että mikään näistä ei ole itse asia Lue lisää »

"Mahdolliset" integraaliset nollat ovat + -1, + -2, + -4 Ei mitään näistä töistä, joten P (y): llä ei ole kiinteitä nollia. > P (y) = y ^ 4-5y ^ 3-7y ^ 2 + 21y + 4 Rationaalisen juuriteoreeman mukaan P (x): n kaikki rationaaliset nollat ovat näkyvissä muodossa p / q kokonaislukuille p, q ja pa vakiomäärän 4 jakaja ja johtavan termin kertoimen 1 qa-jakaja. Tämä tarkoittaa, että ainoat mahdolliset rationaaliset nollat ovat mahdollisia kokonaislukuja: + -1, + -2, + -4 Kokeilemalla näitä kaikkia: P (1) = 1-5-7 + 21 + 4 = 1 Lue lisää »

Mahdolliset kokonaisluvun juuret, jotka pitäisi kokeilla, ovat 1, 3, 5, 15. Kuvittele, että jokin muu kokonaisluku voisi olla juuri. Me valitsemme 2. Tämä on väärin. Näemme miksi. Polynomi on z ^ 4 + 5z ^ 3 + 2z ^ 2 + 7z-15. Jos z = 2, niin kaikki termit ovat jopa siksi, että ne ovat z: n kerrannaisia, mutta sitten viimeisen aikavälin on oltava jopa niin, että koko summa on nolla ... ja -15 ei ole edes tasainen. Joten z = 2 epäonnistuu, koska jakavuus ei toimi. Jotta jakautuvuus voidaan tehdä oikealle, z: n kokonaislukujuuren on oltava sellainen, joka jakautuu tas Lue lisää »

Kvadraattisen kaavan erottelija kertoo sinulle yhtälön juurien luonteen. b ^ 2 4ac = 0, yksi todellinen ratkaisu b ^ 2 4ac> 0, kaksi todellista ratkaisua b ^ 2 4ac <0, kaksi kuvitteellista ratkaisua Jos syrjivä on täydellinen neliö, juuret ovat järkeviä tai muuten jos ei ole täydellinen neliö, juuret ovat irrationaalisia. Lue lisää »

Tämän ongelman ratkaisemiseksi voimme käyttää p / q-menetelmää, jossa p on vakio ja q on johtava kerroin. Tämä antaa meille + -12 / 1, joka antaa meille mahdolliset tekijät + -1, + -2, + -3, + -4, +6 ja +12. Nyt meidän on käytettävä synteettistä jakoa jakamaan kuutiofunktio. On helpompaa aloittaa + -1 ja sitten + -2 ja niin edelleen. Kun käytetään synteettistä jakoa, meidän on oltava jäljellä 0, jotta osinko olisi nolla. Käyttäen synteettistä jakoa saadaksemme yhtälösi neliökohtaiseksi Lue lisää »

Katso selitys ... Polynomi muuttujassa x on lopullisesti monien termien summa, joista jokaisella on muotoa a_kx ^ k jonkin verran vakio a_k ja ei-negatiivinen kokonaisluku k. Joten esimerkkejä tyypillisistä polynomeista voivat olla: x ^ 2 + 3x-4 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Polynomifunktio on funktio, jonka arvot määritellään polynomilla. Esimerkiksi: f (x) = x ^ 2 + 3x-4 g (x) = 3x ^ 3-5 / 2x ^ 2 + 7 Polynomin f (x) nolla on x: n arvo niin, että f (x ) = 0. Esimerkiksi x = -4 on nolla f (x) = x ^ 2 + 3x-4. Rationaalinen nolla on nolla, joka on myös rationaalinen numero, toisin sanoen on mu Lue lisää »

X = -1 + -i "tarkista" värin (sininen) "erottelijan" "arvo" a = 1, b = 2, c = 2 delta = b ^ 2-4ac = 4-8 = -4 " koska "Delta <0" yhtälöllä ei ole todellisia ratkaisuja "" ratkaisemalla "väri (sininen)" neliökaava "x = (- 2 + -sqrt (-4)) / 2 = (- 2 + -2i) / 2 rArrx = -1 + -i "ovat ratkaisuja" Lue lisää »

Identiteetti: f (x) = x Neliö: f (x) = x ^ 2 Kuutio: f (x) = x ^ 3 Vastavuoroinen: f (x) = 1 / x = x ^ (- 1) Neliöjuuri: f ( x) = sqrt (x) = x ^ (1/2) eksponentiaalinen: f (x) = e ^ x logaritminen: f (x) = ln (x) logistiikka: f (x) = 1 / (1 + e ^ (-x)) Sine: f (x) = sin (x) Cosine: f (x) = cos (x) Absoluuttinen arvo: f (x) = abs (x) Kokonaisvaihe: f (x) = "int" (x) Lue lisää »

R <1 / e on ehtona sum_n konvergenssille (n = 1) ^ o ^ ^ (n) Vastaan vain osaan lähentymisestä, ensimmäinen osa on vastattu kommenteissa. Voimme käyttää r ^ ln (n) = n ^ ln (r), kun haluat kirjoittaa summan_ (n = 1) ^ o ^ ln (n) muodossa summa_ (n = 1) ^ o ^ ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -1n (r) Oikealla oleva sarja on kuuluisan Riemann Zeta -toiminnon sarjan muoto. On hyvin tunnettua, että tämä sarja konvergoituu, kun p> 1. Tämän tuloksen käyttäminen suoraan antaa ln (r)> 1 merkitsee, että ln (r) <- 1 merkitse Lue lisää »

Epätasa-arvo on neliön muotoinen. Vaihe 1: Tarvitsemme nollaa toisella puolella. x ^ 6 + x ^ 3 - 6 ge 0 Vaihe 2: Koska vasen puoli koostuu jatkuvasta termistä, keskipitkällä aikavälillä ja termistä, jonka eksponentti on täsmälleen kaksinkertainen kuin keskipitkällä aikavälillä, tämä yhtälö on neliönmuotoinen. " Kumpikin tekijä on niin kuin neliö, tai käytämme nelikulmaista kaavaa. Tässä tapauksessa pystymme vaikuttamaan. Aivan kuten y ^ 2 + y - 6 = (y + 3) (y - 2), meillä on nyt x ^ 6 + x ^ Lue lisää »

9x ^ 2 + 16y ^ 2 = 144 Jaa jokainen termi 144. (9x ^ 2) / 144 + (16y ^ 2) / 144 = 144/144 Yksinkertainen (x ^ 2) / 16 + (y ^ 2) / 9 = 1 Pääakseli on x-akseli, koska suurin nimittäjä on x ^ 2-aikavälillä. Pisteiden koordinaatit ovat seuraavat ... (+ -a, 0) (0, + - b) a ^ 2 = 16 -> a = 4 b ^ 2 = 4 -> b = 2 (+4, 0) (0, + - 2) Lue lisää »

Mielestäni kysymyksessä on jotain vikaa, katso alla. Ilmaisun laajentaminen antaa frac {(x + 6) ^ 2} {4} = 1 siksi (x + 6) ^ 2 = 4, joten x ^ 2 + 12x + 36 = 4, joten x ^ 2 + 12x + 32 = 0 Tämä ei ole oikeastaan yhtään yhtälöä, jota voi kuvata, koska kaavio edustaa x-arvojen ja y-arvojen välistä suhdetta (tai yleensä yleisen muuttujan ja riippuvaisen muuttujan välistä suhdetta). Tässä tapauksessa meillä on vain yksi muuttuja, ja yhtälö on nolla. Paras, mitä voimme tässä tapauksessa tehdä, on ratkaista yhtä Lue lisää »

Huiput ovat (3,0), (-1,0), (1,3), (1, -3) Kohdat ovat (1, sqrt5) ja (1, -sqrt5). neliöt 9x ^ 2-18x + 4y ^ 2 = 27 9 (x ^ 2-2x + 1) + 4y ^ 2 = 27 + 9 9 (x-1) ^ 2 + 4y ^ 2 = 36 Jakaminen 36: lla (x- 1) ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 (x-1) ^ 2/2 ^ 2 + y ^ 2/3 ^ 2 = 1 Tämä on ellipsin yhtälö, jossa on pystysuuntainen pääakseli Tätä yhtälöä verrataan - (xh) ^ 2 / a ^ 2 + (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Keskiö on = (h, k) = (1,0) Pisteet ovat A = (h + a, k) = (3,0); A '= (h-a, k) = (- 1,0); B = (h.k + b) = (1,3); B '= (h, kb) = (1, -3) Keskipisteiden laskemiseksi tarvitsemme c = Lue lisää »

Ensinnäkin yritetään tehdä se polinomi. Jäljelle jääneelle teoreemalle on laskettava f (h) kaikkien kokonaislukujen osalta, jotka jakavat 216. Jos f (h) = 0 numerolle h, niin tämä on nolla. Jakajat ovat: + -1, + - 2, ... Yritin joitakin niistä pieniä, jotka eivät toimineet, ja muut olivat liian suuria. Joten tätä polinomia ei voida faktoroida. Meidän täytyy kokeilla toista tapaa! Yritetään tutkia toimintoa. Verkkotunnus on (-oo, + oo), raja-arvot ovat: lim_ (xrarr + -oo) f (x) = + - oo, joten ei ole minkäänlaisia asymptoott Lue lisää »

Koska log_3 (13) = 1 / (log_13 (3)) meillä on (log_3 (13)) (log_13 (x)) (log_x (y)) = (log_13 (x) / (log_13 (3))) (log_x (y)) Kerroin, jossa on yhteinen 13: n perusta, seuraa perusformulaation muutosta, niin että log_13 (x) / (log_13 (3)) = log_3 (x) ja vasen puoli ovat yhtä suuret (log_3 (x)) (log_x (y)) Koska log_3 (x) = 1 / (log_x (3)), vasen puoli on log_x (y) / log_x (3), joka on log_3 (y) -alustan muutos Nyt kun tiedämme, että log_3 (y) = 2, me muunnetaan eksponentiaaliseen muotoon, niin että y = 3 ^ 2 = 9. Lue lisää »

Aloittaisitte jakamalla jokainen termi 4: llä loppuun ... x ^ 2 + y ^ 2 = 4 Tämä on yhtälö ympyrälle, (xh) ^ 2 + (yk) ^ 2 = r ^ 2, missä (h, k) on ympyrän keskipiste ja r = säde Ongelmassamme (h, k) on (0,0) ja r ^ 2 = 4 sqrt (r ^ 2) = sqrt (4) r = 2 It on ympyrän yhtälö, jonka keskipiste on (0,0) ja säde 2. Lue lisää »

Tässä ongelmassa aiomme luottaa siihen, että neliötekniikka täydentää hierontaa yhtälöä tunnistettavammaksi yhtälöksi. x ^ 2-4x + 4y ^ 2 + 8y = 60 Työskentelemme x-termillä (-4/2) ^ 2 = (- 2) ^ 2 = 4, Sinun on lisättävä 4 molemmille puolille yhtälöä x ^ 2-4x + 4 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 x ^ 2-4x + 4 => (x-2) ^ 2 => Täydellinen nelikulmainen uudelleenkirjoitusyhtälö: (x-2) ^ 2 + 4y ^ 2 + 8y = 60 + 4 Kerroimme 4: stä y ^ 2 & y-termeistä (x-2) ^ 2 + 4 (y ^ 2 + 2y) = 60 + 4 Työskentelemme y- Lue lisää »

Tämä yhtälö on lähellä standardia. Ehdot on tilattava uudelleen. Ax ^ 2 + Bxy + Cy ^ 2 + Dx + Ey + F = 0 x ^ 2 + xy + y ^ 2-x + 2y = 0 Tarvitsemme kertoimet A ja C määrityksen tekemiseksi. A = 1 C = 1 A = C 1 = 1 Tämä on ympyrä. Lue lisää »

Ellips Jos a, b ja 2h ovat x ^ 2: n termien kertoimia. y ^ 2ja xy, sitten toisen asteen yhtälö edustaa en ellipse parabolia tai hyperbolaa ab-h ^ 2>: n mukaan. = tai <0. Täällä, ab-h ^ 2 = 225> 0. Yhtälöä voidaan järjestää uudelleen (x + 2) ^ 2/9 + (y-1) ^ 2/25 = 1. Ellipsin keskus C on (-2,1). Puoliakselit a = 5 ja b = 3. Pääakseli on x = -2 on y-akselin suuntainen. Epäkeskisyys e = sqrt (9 ^ 2-5 ^ 2) / 5 = 2sqrt14 / 5. Polttimille S ja S ', CS = CS' = ae = sqrt14. Foci: (-2, 1 + sqrt14) ja (-2,1 -sqrt14) Lue lisää »

Hyperbeli. Ympyrä (x - h) ^ 2 + (y - k) ^ 2 = r ^ 2 Ellipsit (x - h) ^ 2 / a ^ 2 + (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (x - h ) ^ 2 / b ^ 2 + (y - k) ^ 2 / a ^ 2 = 1 Parabola y - k = 4p (x - h) ^ 2 x - h = 4p (y - k) ^ 2 Hyperbola (x - h) ^ 2 / a ^ 2 - (y - k) ^ 2 / b ^ 2 = 1 (y - k) ^ 2 / a ^ 2 - (x - h) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Lue lisää »

Vertikaalinen Hyperbola, keskellä ovat (0,0) Se on vertikaalinen hyperbola, koska 1) 2 muuttujan välillä on miinus 2) Molemmat muuttujat ovat neliö 3) Yhtälö on yhtä suuri kuin 4) jos y on positiivinen, x on negatiivinen, x on negatiivinen, vertikaalinen hyperbola x kuten tämä kaavio {(y ^ 2) / 9 - (x ^ 2) / 16 = 1 [-10, 10, -5, 5]} Lue lisää »

Ellipsien osalta a> = b (kun a = b, meillä on ympyrä) a edustaa puolta pääakselin pituudesta, kun taas b edustaa puolta pienemmän akselin pituudesta. Tämä tarkoittaa, että ellipsin pääakselin päätepisteet ovat yksiköitä (vaakasuorassa tai pystysuorassa) keskeltä (h, k), kun taas ellipsin pienen akselin päätepisteet ovat b yksiköitä (pystysuunnassa tai vaakasuunnassa) keskeltä. Ellipsin polttimet voidaan saada myös a: sta ja b: stä. Ellipsin tarkennukset ovat f-yksiköitä (pitkin pääakselia) el Lue lisää »

Funktion loppukäyttäytyminen on funktion f (x) graafin käyttäytyminen, koska x lähestyy positiivista ääretöntä tai negatiivista ääretöntä. Funktion loppukäyttäytyminen on funktion f (x) graafin käyttäytyminen, koska x lähestyy positiivista ääretöntä tai negatiivista ääretöntä. Tämä määräytyy polynomin funktion asteen ja johtavan kertoimen mukaan. Esimerkiksi jos y = f (x) = 1 / x, kuten x -> + - oo, f (x) -> 0. kaavio {1 / x [-10, 10, -5, 5]} Mutta jos y = f (x) = Lue lisää »

Lineaarinen funktio mallintaa suoran viivan, jolla on vakio kaltevuus tai muutosnopeus. Lineaaristen yhtälöiden muotoja on useita. Standardimuoto Ax + By = C, jossa A, B ja C ovat todellisia lukuja. Slope Intercept -muoto y = mx + b, jossa m on kaltevuus ja b on y-sieppauspisteiden kaltevuuslomake (y-y_1) = m (x-x_1), jossa (x_1, y_1) on jokin piste pisteessä ja m on rinne. Lue lisää »

Eksponentiaalisen funktion heijastus akselilla y = x Logaritmit ovat eksponentiaalisen funktion käänteinen, joten y = a ^ x: lle log-funktio olisi y = log_ax. Niinpä lokitoiminto kertoo sinulle, mitä voimaa a on nostettava, jotta saat x: n. Kuvaaja lnx: kaavio {ln (x) [-10, 10, -5, 5]} Kuvaaja e ^ x: kaavio {e ^ x [-10, 10, -5, 5]} Lue lisää »

"Se ei ole mahdollista" "0 on oltava alueella." "Koska 0 on alueella ja 0 on järkevä numero, emme voi" "olla tätä." "Ajattele sitä: funktion on läpäistävä X-akselin läpi, jos ei" "toiminto olisi jatkuva kaikkialla." Lue lisää »

Vanh {a} quad ja "quad vec {b} quad" ovat ortogonaalisia juuri silloin, kun: "qquadquad qadquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad qquad / 3. # "Muista, että kahdelle vektorille:" quad vec {a}, vec {b}, "meillä on:" quad vec {a} quad ja "quad vec {b} ovat ortogonaalisia "qad quad hArr qad quad vec {a} cdot v. {b} = 0." Näin: "q <2, 3> quad" ja "nel <-5, k> quad quad ovat ortogonaalisia "quad quad hArr" qquad <-2, 3> cdot <-5, k> = 0 qquad quad hArr qquad qad quad (-2) (-5) + Lue lisää »

A = b = c AP-sekvenssin yleisiä termejä voi esittää: sf ({a, a + d, a + 2d}) Meille kerrotaan, että {a, b, c}, ja huomaamme, että jos otamme korkeampi termi ja vähennä sen aikaisempi termi, saamme yhteisen eron; siten c-b = b-a:. 2b = a + c ..... [A] GP-sekvenssin yleisiä termejä voi esittää: sf ({a, ar, ar ^ 2}) Meille kerrotaan, että {a ^ 2, b ^ 2, c ^ 2}, ja huomaamme, että jos otamme korkeamman aikavälin ja jaamme sen edellisen termin, saamme yhteisen suhteen, siten: c ^ 2 / b ^ 2 = b ^ 2 / a ^ 2 => c / b = b / a (kuten a, b, c gt 0):. b ^ 2 Lue lisää »

"Katso selitys" z ^ 3 - 1 = 0 "on yhtälö, joka tuottaa" "yhtenäisyyden kuution juuret. Joten voimme soveltaa polynomien teoriaa" "päätelmään, että" z_1 * z_2 * z_3 = 1 "(Newtonin identiteetit )." "Jos haluat todella laskea sen ja tarkistaa sen:" z ^ 3 - 1 = (z - 1) (z ^ 2 + z + 1) = 0 => z = 1 "TAI" z ^ 2 + z + 1 = 0 => z = 1 "OR" z = (-1 pm sqrt (3) i) / 2 => (z_1) * (z_2) * (z_3) = 1 * ((- 1 + sqrt (3) i ) / 2) * (- 1 sqrt (3) i) / 2 = 1 * (1 + 3) / 4 = 1 Lue lisää »

K = 1/3 annettu f (x) = klog_2x ja f ^ -1 (1) = 8 Tiedämme, että jos f ^ -1 (x) = y, niin f (y) = x. Joten toisessa yhtälössä tämä tarkoittaa sitä, että f (8) = 1 Meillä on ensimmäinen yhtälö, joten korvataan x = 8 ja f (x) = 1, jotta saat 1 = klog_2 (8). mitä tehdä tästä saadaksesi yllä olevan vastauksen. Vihje: - log_xy ^ z = zlog_xy log_x (x) = 1 Lue lisää »

Vastaus on = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Tiedämme, että p ^ -1p = I I + p + p ^ 2 + p ^ 3 .... .p ^ n = O Kerro molemmat puolet p ^ -1 p ^ -1 * (1 + p + p ^ 2 + p ^ 3 ..... p ^ n) = p ^ -1 * O p ^ - 1 * 1 + p ^ -1 * p + p ^ -1 * p ^ 2 + ...... p ^ -1 * p ^ n = O p ^ -1 + (p ^ -1p) + (p ^ -1 * p * p) + ......... (p ^ -1p * p ^ (n-1)) = O p ^ -1 + (I) + (I * p) +. ........ (I * p ^ (n-1)) = O Siksi p ^ -1 = - (I + p + ......... p ^ (n-1)) Lue lisää »

5 Olkoon neljä vektoria k_1, k_2, k_3 ja k_4 vektorivälin K. perusta. Koska K on V: n alitila, nämä neljä vektoria muodostavat lineaarisesti riippumattoman joukon V: ään. Koska L on V-alatila, joka eroaa V: sta , L: ssä on oltava ainakin yksi elementti, eli l_1, joka ei ole K: ssa, eli joka ei ole k_1, k_2, k_3 ja k_4 lineaarinen yhdistelmä. Joten joukko {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} on lineaarinen riippumaton vektoreiden joukko V: ssä. V: n ulottuvuus on siis vähintään 5! Itse asiassa on mahdollista, että {k_1, k_2, k_3, k_4, l_1} on koko vektoritila V - ni Lue lisää »

Scalars are multiplied in. 3A= -2C= To add the vectors, simply add each component separately. 3A+(-2C)= = Lue lisää »

(-6,4,3) Voit lisätä vektorin lisäykseen vastaavia komponentteja erikseen. Ja vektori-vähennys määritellään A-B = A + (- B), jossa -B voidaan määritellä jokaisen komponentin skalaariseksi kertomukseksi -1. Tällöin -A + B-C = (- 1-2-3,0 + 5-1,3 + 1-1) = (- 6,4,3) Lue lisää »

Määrittäjä on M + N = 69 ja MXN = 200ko Yksi on määriteltävä myös matriisien summa ja tuote. Tässä oletetaan kuitenkin, että ne ovat aivan yhtä määriteltyjä 2xx2-matriisin oppikirjoissa. M + N = [(- 1,2), (- 3, -5)] + [(- 6,4), (2, -4)] = [(- 7,6), (- 1, - 9)] Näin ollen sen determinantti on (-7xx-9) - (- 1xx6) = 63 + 6 = 69 MXN = [(((1) xx (-6) + 2xx2), ((- 1) xx4 + 2xx (-4))), (((1) xx2 + (- 3) xx (-4)), ((- 3) xx4 + (- 5) xx (-4)))] = [(10, -12) ), (10,8)] Näin ollen MXN: n deeminantti = (10xx8 - (- 12) xx10) = 200 Lue lisää »

Neliön funktioissa on kaavioita, joita kutsutaan paraboliksi. Y = x ^ 2: n ensimmäisessä kaaviossa on molemmat "käyrät", jotka osoittavat ylöspäin. Voit kuvata tätä otsikoksi äärettömyyteen. Lyijykerroin (kerroin x ^ 2: ssa) on positiivinen luku, jonka seurauksena parabola avautuu ylöspäin. Vertaa tätä käyttäytymistä toisen kaavion käyttäytymiseen, f (x) = -x ^ 2. Tämän toiminnon molemmat päät osoittavat alaspäin negatiiviseen äärettömyyteen. Lyijykerroin on täll Lue lisää »

-24883200 "Tämä on Vandermonden matriisin determinantti." "On tunnettua, että determinantti on sen jälkeen" "perusarvojen erojen (eli peräkkäisten" "voimien) ero." "Joten tässä meillä on" (6!) (5!) (4!) (3!) (2!) "= 24,883,200" "On yksi ero Vandermonden matriisin kanssa" "ja se on, että pienimmät voimat ovat normaalisti matriisin vasemmalla puolella, niin että sarakkeet ovat peilattuja, tämä antaa ylimääräisen miinusmerkin tulokseen: "" determinantti = -24 Lue lisää »

Kirjoitat Pascalin kolmion kuudennen rivin ja tee tarvittavat vaihtoehdot. > Pascalin kolmio on Viidennen rivin numerot ovat 1, 5, 10, 10, 5, 1. Ne ovat viidennen asteen polynomin termien kertoimia. (x + y) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4y + 10x ^ 3y ^ 2 + 10x ^ 2y ^ 3 + 5xy ^ 4 + y ^ 5 Mutta polynomi on (x + 2) ^ 5. (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 5x ^ 4 × 2 + 10x ^ 3 × 2 ^ 2 + 10x ^ 2 × 2 ^ 3 + 5x × 2 ^ 4 + 2 ^ 5 (x + 2) ^ 5 = x ^ 5 + 10x ^ 4 + 40x ^ 3 + 80x ^ 2 + 80x + 32 Lue lisää »

Kuten alla selitetään Tilastoissa, kun verrataan kahta muuttujaa, negatiivinen korrelaatio tarkoittaa sitä, että kun yksi muuttuja kasvaa, toinen laskee tai päinvastoin. Täydellinen negatiivinen korrelaatio esitetään arvolla -1,00, kun taas 0,00 ilmaisee korrelaatiota ja +1,00 osoittaa täydellistä positiivista korrelaatiota. Täydellinen negatiivinen korrelaatio tarkoittaa sitä, että kahden muuttujan välillä esiintyvä suhde on negatiivinen 100% ajasta. Lue lisää »

Ennen kuin aloitamme hyperbolan tulkinnan, haluamme asettaa sen vakiomuodossa. Merkitys, haluamme sen olevan y ^ 2 / a ^ 2 - x ^ 2 / b ^ 2 = 1 muodossa. Voit tehdä tämän jakamalla molemmat puolet 36: lla, jotta saat 1: n vasemmalla puolella. Kun se on tehty, sinun pitäisi olla: y ^ 2/4 - x ^ 2/9 = 1 Kun sinulla on tämä, voimme tehdä muutamia havaintoja: Ei ole h ja k Se on ay ^ 2 / a ^ 2 hyperbola ( se tarkoittaa, että sillä on pystysuora poikittaisakseli, ja nyt voimme alkaa löytää joitakin asioita, ja opastan sinut läpi, miten löytää joitakin Lue lisää »

Katso alla oleva selitys Hyperbolan yleinen yhtälö on (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Tässä yhtälö on (x-1) ^ 2/2 ^ 2- (y + 2) ^ 2/3 ^ 2 = 1 a = 2 b = 3 c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = sqrt (4 + 9) = sqrt13 Keskusta on C = (h, k) = (1, -2) Pisteet ovat A = (h + a, k) = (3, -2) ja A '= (ha, k) = (- 1, -2) Polttimet ovat F = (h + c, k) = (1 + sqrt13, -2) ja F '= (hc, k) = (1-sqrt13, -2) Epäkeskisyys on e = c / a = sqrt13 / 2-kaavio {((x- 1) ^ 2 / 4- (y + 2) ^ 2 / 9-1) = 0 [-14,24, 14,25, -7,12, 7,12]} Lue lisää »

Melko paljon! Tässä on vakio hyperbolinen yhtälö. (xh) ^ 2 / a ^ 2- (yk) ^ 2 / b ^ 2 = 1 Keskiö on kohdassa (h, k) Puoli-poikittaisakseli on puolikonjugaatti-akseli on b Kaavion pisteet ovat (h + a, k) ja (ha, k) Kaavion polttoväli on (h + a * e, k) ja (ha * e, k) Kaavion suorat reitit ovat x = h + a / e ja x = h - a / e Tässä on kuva, joka auttaa. Lue lisää »

Faktorin teorian mukaan: Jos x = a täyttää polynomin P (x) eli jos x = a on polynomin yhtälön P (x) = 0 juuret, (x-a) on polynomin P (x) kerroin Lue lisää »

Se tarkoittaa, että jos jatkuvan toiminnon (aikavälillä A) 2 erottaa arvot f (a) ja f (b) (a, b A: ssa), niin se ottaa kaikki arvot välillä f (a) ja f (b). Jotta muistat tai ymmärrät sen paremmin, tiedä, että matematiikan sanastossa käytetään paljon kuvia. Voit esimerkiksi kuvitella täydellisen toiminnon! Se on sama täällä, sillä välituotteella voi kuvitella jotain kahden muun välillä, jos tiedät mitä tarkoitan. Älä epäröi kysyä kysymyksiä, jos se ei ole selvää! Lue lisää »

12.5, 15, 17.5 Sekvenssi käyttää sekvenssiä, jossa se kasvaa 2,5 kertaa joka kerta. Lyhyt vastaus, jossa etsit vain seuraavia kolmea termiä, voit vain lisätä sen, tai jos haluat löytää vastauksen, joka on esimerkiksi 135. järjestyksessä yhtälön avulla: a_n = a_1 + (n- 1) d Olisi siis: a_n = 2,5 + (135-1) 2.5, joka vastaa väriä (sininen) (337,5 Toivon, että se auttaa! Lue lisää »

Mitä haluat tietää siitä? Jäljellä oleva lause tarkoittaa sitä, mitä se sanoo. Jos polynomi P (x) jaetaan x-n: llä, loput on P (n). Joten esimerkiksi jos P (x) = 3x ^ 4-7x ^ 2 + 2x-8 jaetaan x-3: lla, loppuosa on P (3). Lue lisää »

Tämä on lineaarinen yhtälö. Lineaarinen yhtälö on suoran linjan esitys. Tätä nimenomaista yhtälöä kutsutaan kaltevuuden sieppausmuodoksi. M kaavassa on rinne. Kaavassa b on se, jossa linja leikkaa y-akselin, jota kutsutaan y-leikkaukseksi. Lue lisää »

Kvadraattinen kaava käyttää neliömäisen yhtälön kertoimia vakiomuodossa, kun se on nolla (y = 0). Normaalimuodossa oleva neliöyhtälö näyttää y = ax ^ 2 + bx + c. Kvadraattikaava on x = (-b + - sqrt (b ^ 2 - 4ac)) / (2a), kun y = 0. Tässä on esimerkki siitä, kuinka kvadratiivisen yhtälön kertoimia käytetään muuttujina kvadratiivisessa kaavassa : 0 = 2x ^ 2 + 5x + 3 Tämä tarkoittaa a = 2, b = 5 ja c = 3. Niinpä neliökaava tulee: x = (-5 + - sqrt (5 ^ 2 - 4 (2) (3 ))) / (2 * 2) x = (-5 + - sqrt (25 - 4 Lue lisää »

-1,22x, -220x ^ 2,28160x ^ 9, -11264x ^ 10,2048x ^ 11 (ax + b) ^ n = summa_ (r = 0) ^ n ((n), (r)) (kirves) ^ rb ^ (nr) = sum_ (r = 0) ^ n (n!) / (r! (nr)!) (ax) ^ rb ^ (nr) Joten haluamme rin {0,1,2,9 , 10,11} (11!) / (0! (11-0)!) (2x) ^ 0 (-1) ^ 11 = 1 (1) (- 1) = - 1 (11!) / (1 ! (11-1)!) (2x) ^ 1 (-1) ^ 10 = 11 (2x) (1) = 22x (11!) / (2! (11-2)!) (2x) ^ 2 ( -1) ^ 9 = 55 (4x ^ 2) (- 1) = - 220x ^ 2 (11!) / (9! (11-9)!) (2x) ^ 9 (-1) ^ 2 = 55 ( 512x ^ 9) (1) = 28160x ^ 9 (11!) / (10! (11-10)!) (2x) ^ 10 (-1) ^ 1 = 11 (1024x ^ 10) (- 1) = - 11264x ^ 10 (11!) / (11! (11-11)!) (2x) ^ 11 (-1) ^ 0 = 1 (2048x ^ 11) (1) = 2048x Lue lisää »

Tee ensin se kovalla tavalla. Yrität selvittää n: n ratkaisun! = 720 Tämä tarkoittaa 1 * 2 * 3 * ... * n = 720 Voit jakaa kaikki yhteenlasketut numerot siihen saakka, kunnes päädyt 1 tulokseen: 720 // 1 = 720, 720 // 2 = 360,360 // 3 = 120 jne. GC (TI-83): MATH - PRB -! Ja kokeile muutamia numeroita. Vastaus: 6 Lue lisää »

Katso alempaa. Tekijäteeman mukaan, jos (x-4) on kerroin, f (4) = 0, joten anna f (x) = x ^ 2-3x-4 f (4) = 4 ^ 2-3 (4) - 4 = 16-12-4 = 16-16 = 0, joten (x-4) on tekijä. Lue lisää »

Kuutiofunktioiden loppukäyttäytyminen tai jokin muu outoa astetta käyttävä toiminto menee vastakkaisiin suuntiin. Kuutiotoiminnot ovat funktioita, joiden aste on 3 (siten kuutiometriä), mikä on pariton. Lineaarisilla toiminnoilla ja pariton asteilla olevilla toiminnoilla on vastakkainen loppukäyttäytyminen. Tämän kirjoittamisen muoto on: x -> oo, f (x) -> oo x -> -oo, f (x) -> - oo Esimerkiksi alla olevan kuvan kohdalla, kun x menee oo: lle, y-arvo myös kasvaa äärettömyyteen. Koska x lähestyy -oo, y-arvo laskee edelleen; Voit testat Lue lisää »

Yleensä: Kun eksponenttitoiminto, jonka eksponentti pyrkii olemaan + - oo: ksi x-> oo, funktio pyrkii oo tai 0 vastaavasti x-> oo. Huomaa, että tämä pätee samalla tavoin myös x -> - oo: n kanssa. Kun eksponentti lähestyy + -oo: ta, x: n minuuttimuutokset (tyypillisesti) johtavat dramaattisiin muutoksiin funktion arvossa. Huomaa, että käyttäytymismuutokset funktioissa, joissa eksponentiaalisen funktion perusta, eli a in f (x) = a ^ x, on sellainen, että -1 <= a <= 1. Ne, jotka käsittävät -1 <= a <0, käyttäytyvät oudosti Lue lisää »

TLDR: Pitkä versio: Jos teho-funktion eksponentti on negatiivinen, sinulla on kaksi mahdollisuutta: eksponentti on jopa eksponentti on pariton. Eksponentti on tasainen: f (x) = x ^ (- n), jossa n on tasainen. Mitään negatiiviseen valtaan tarkoittaa tehon vastavuoroisuutta. Tästä tulee f (x) = 1 / x ^ n. Katsotaanpa nyt, mitä tapahtuu tällä toiminnolla, kun x on negatiivinen (y-akselin vasemmalla puolella) Nimittäjä muuttuu positiiviseksi, koska negatiivinen luku kerrotaan itsestään jopa paljon aikaa. Mitä pienempi on (enemmän vasemmalle), sitä suure Lue lisää »

Kaavioista ja yhtälöistä on lisäkysymyksiä, mutta saada hyvä piirros kaaviosta: Sinun on tiedettävä, onko akseleita pyöritetty. (Tarvitset trigonometria saadaksesi kuvaajan, jos se on ollut.) Sinun täytyy tunnistaa kartion osan tyyppi tai tyyppi. Sinun täytyy laittaa yhtälö tyypille vakiomuodossa. (No, sinun ei tarvitse "kuvata jotakin y = x ^ 2-x: n kaltaista kuvaa, jos laskeutuu luonnos, joka perustuu siihen, että se on ylöspäin avautuva parabola, jossa on x-sieppaukset 0 ja 1). kartion tyyppi, tarvitset muuta tietoa sen mukaan, kuinka y Lue lisää »

Jos tiedetään hyperbolien yhtälö, eli: (x-x_c) ^ 2 / a ^ 2- (y-y_c) ^ 2 / b ^ 2 = + - 1, voimme piirtää hyperbolat tällä tavalla: löytää keskusta C (x_c, y_c); tee suorakulmio, jonka keskipiste on C ja sivuilla 2a ja 2b; piirtää suorat, jotka kulkevat suorakulmion vastakkaisista pisteistä (asymptootit); jos merkki 1 on +, kuin kaksi haaraa ovat suorakulmion vasemmalla ja oikealla puolella ja pisteet ovat pystysuorien puolien keskellä, jos merkki 1 on -, kuin kaksi haaraa ovat suorakulmiosta ylös ja alas ja huiput ovat vaakasuorien puolien keske Lue lisää »

(7 + 6i) / (10 + i) = 76/101 + 53 / 101i Voimme tehdä nimittäjän todelliseksi kertomalla nimittäjän sen kompleksisen konjugaatin kanssa, jolloin: (7 + 6i) / (10 + i) = (7 + 6i) / (10 + i) * (10-i) / (10-i) "" ((7 + 6i) (10-i)) / ((10 + i) (10-i)) " "= (70-7i + 60i-6i ^ 2) / (100 -10i + 10i-i ^ 2)" "= (70 + 53i +6) / (100 +1)" "= (76 + 53i) / (101) "" = 76/101 + 53 / 101i Lue lisää »

Ks. Alla Cardioid-käyrä on jokin asia kuin sydämenmuotoinen hahmo (näin sana ”cardio” on tullut). Se on sellaisen ympyrän ympärysmitan piste, joka liikkuu toisella ympyrällä ilman liukumista. Matemaattisesti se annetaan polaarisen yhtälön r = a (1-costheta) avulla, joskus myös r = 2a (1-costheta), se näkyy alla esitetyllä tavalla. Lue lisää »

Jatkuvassa toiminnassa on useita määritelmiä, joten annan teille useita ... Hyvin karkeasti jatkuva toiminto on sellainen, jonka kaavio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista. Sillä ei ole epäjatkuvuuksia (hyppyjä). Paljon muodollisemmin: Jos A sube RR sitten f (x): A-> RR on jatkuva iff AA x A: ssa, delta RR: ssä, delta> 0, EE epsilon RR: ssä, epsilon> 0: AA x_1 in (x - epsilon , x + epsilon) nn A, f (x_1) kohdassa (f (x) - delta, f (x) + delta) Tämä on melkoinen suu, mutta se tarkoittaa, että f (x) ei yhtäkkiä hyppä Lue lisää »

Se on numeroiden sarja, joka laskee säännöllisesti ja lineaarisesti. Esimerkki on 10,9,8,7, ... joka laskee 1 jokaista vaihetta = -1. Mutta 1000, 950, 900, 850 ... olisi myös yksi, koska tämä laskee 50 askelta joka vaiheessa tai vaihe = -50. Näitä vaiheita kutsutaan "yhteiseksi eroksi". Sääntö: Aritmeettisella sekvenssillä on vakio ero kahden vaiheen välillä. Tämä voi olla positiivinen tai (teidän tapauksessanne) negatiivinen. Lue lisää »

Jatkuva toiminto on toiminto, jossa on vähintään yksi piste, jossa se ei ole jatkuvaa. Tämä on lim_ (x-> a) f (x) joko ei ole tai se ei ole yhtä kuin f (a). Esimerkki toiminnosta, jolla on yksinkertainen, irrotettava epäjatkuvuus, olisi: z (x) = {(1, jos x = 0), (0, jos x! = 0):} Esimerkki patologisesti epäjatkuvasta funktiosta RR: stä RR: iin olisi: r (x) = {(1, "jos x on järkevä"), (0, "jos x on irrationaalinen"):} Tämä on epäjatkuvaa kaikissa kohdissa. Harkitse funktiota q (x) = {(1, "jos x = 0"), (1 / q, "jos x = Lue lisää »

Vasemmanpuoleinen raja tarkoittaa funktion rajaa, joka lähestyy vasemmalta puolelta. Toisaalta oikeanpuoleinen raja tarkoittaa funktion rajaa, joka lähestyy oikealta puolelta. Kun saavutetaan funktion raja, kun se lähestyy numeroa, ajatuksena on tarkistaa toiminnon käyttäytyminen, kun se lähestyy numeroa. Korvaamme arvot mahdollisimman lähelle lähestyvää numeroa. Lähin numero on numero, johon itse lähestytään. Näin ollen yleensä vain korvaa lähestyvän numeron saamaan raja. Emme kuitenkaan voi tehdä tätä, jos tuloksena o Lue lisää »

Jos meillä on alaraja, se on sama kuin vasemmanpuoleinen raja (negatiivisempi). Voimme kirjoittaa tämän seuraavasti: lim_ (x-> 0 ^ -) f (x) perinteisen lim_ (x -> 0) f (x): n sijaan Tämä tarkoittaa, että harkitsemme vain mitä tapahtuu, jos aloitamme numerolla alempi kuin raja-arvo ja lähestyykö sitä tästä suunnasta. Tämä on yleensä mielenkiintoisempi, kun on kyse Piecewise-toiminnosta. Kuvittele funktio, joka on määritelty y = x x <0: ksi ja y = x + 1 x> 0: lle. Voimme kuvitella, että 0 on pieni hyppy. Sen pitäisi n&# Lue lisää »

Numeron n logaritmialusta b on luku x, kun b nostetaan x: n tehoon, tuloksena oleva arvo on n log_b n = x <=> b ^ x = n Esimerkki: log_2 8 = x => 2 ^ x = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 log_5 1 = x => 5 ^ x = 1 => 5 ^ x = 5 ^ 0 => x = 0 Lue lisää »

Logistinen funktio on sigmoidifunktion muoto, joka tyypillisesti esiintyy populaation kasvun mallinnuksessa (katso alla). Tässä on graafi tyypillisestä logistiikkatoiminnosta: Kaavio alkaa joistakin peruspopulaatioista ja kasvaa lähes eksponentiaalisesti, kunnes se alkaa lähestyä sen ympäristön asettamaa väestörajaa. Huomaa, että logistisia malleja käytetään myös monilla muilla aloilla (esim. Hermoverkon analyysi jne.), Mutta kasvumallin sovellus on luultavasti helpoin visualisoida. Lue lisää »

Aritmeettinen sekvenssi on sekvenssi (numeroiden luettelo), jolla on yhteinen ero (positiivinen tai negatiivinen vakio) peräkkäisten termien välillä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä aritmeettisista sekvensseistä: 1.) 7, 14, 21, 28, koska yhteinen ero on 7. 2.) 48, 45, 42, 39, koska sillä on yhteinen ero - 3. Seuraavat eivät ole esimerkkejä aritmeettiset sekvenssit: 1.) 2,4,8,16 ei johdu siitä, että ensimmäisen ja toisen aikavälin välinen ero on 2, mutta toisen ja kolmannen aikavälin välinen ero on 4, ja kolmannen ja neljännen aikav Lue lisää »