Laskenta

1/2 [-ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2 x)) + 1)) + ln (abs (sqrt (1 + e ^ (2 x)) - 1))] + sqrt (1 + e ^ (2x)) + C Ensin korvataan: u = e ^ (2x) +1; e ^ (2x) = u-1 (du) / (dx) = 2e ^ (2x); dx = (du) / ( 2e ^ (2x)) intsqrt (u) / (2e ^ (2x)) du = intsqrt (u) / (2 (u-1)) du = 1 / 2intsqrt (u) / (u-1) du Suorita toinen korvaus: v ^ 2 = u; v = sqrt (u) 2v (dv) / (du) = 1, du = 2vdv 1 / 2intv / (v ^ 2-1) 2vdv = intv ^ 2 / (v ^ 2 -1) dv = int1 + 1 / (v ^ 2-1) dv Jaettu käyttäen osittaisjakeita: 1 / ((v + 1) (v-1)) = A / (v + 1) + B / (v- 1) 1 = A (v-1) + B (v + 1) v = 1: 1 = 2B, B = 1/2 v = -1: 1 = -2A, A = -1 / 2 Nyt meill Lue lisää »

Käytössä oppikirjassa käytän (Stewart Calculus) kriittistä pistettä f = kriittinen luku f = arvo x (riippumaton muuttuja), joka on 1) f: n alueella, jossa f 'on joko 0 tai ei ole olemassa. (X: n arvot, jotka täyttävät Fermatin lauseen ehdot.) F: n taivutuspiste on graafin piste (jossa on sekä x- että y-koordinaatit), jossa koveruus muuttuu. (Muut ihmiset näyttävät käyttävän toista terminologiaa. En tiedä, että he söivät väärin tai niillä on vain eri terminologia. Mutta Yhdysvalloissa vuodesta 198 Lue lisää »

Sanoisin, että funktio on keskeytymätön a: ssa, jos se on jatkuva lähellä a: ta (a: n sisältävässä avoimessa aikavälissä), mutta ei a: ssa. Käytössä on muitakin määritelmiä. Toiminto f on jatkuvaa numerossa a jos ja vain jos: lim_ (xrarra) f (x) = f (a) Tämä edellyttää, että: 1 "" f (a): n on oltava olemassa. (a on f: n alueella) 2 "" lim_ (xrarra) f (x): n täytyy olla 3. Yleisimmässä mielessä: Jos f ei ole jatkuva a: ssa, niin f on keskeytymätön a: ssa. Jotkut sano Lue lisää »

Pi / 4 f (x): n, x: n kaaripituus [ab]: ssa on: S_x = int_b ^ af (x) sqrt (1 + f '(x) ^ 2) dx f (x) = - xsinx + xcos (x-pi / 2) = - xsinx + xsinx = 0 f '(x) = 0 Koska meillä on vain y = 0, voimme vain ottaa s suoran linjan pituuden välillä 0to pi / 4, joka on pi / 4- 0 = pi / 4 Lue lisää »

Se on (7sqrt3) / 2 ^ 7 = (7sqrt3) / 128 menetelmä f (x) = sin ^ 7 (x) On erittäin hyödyllistä kirjoittaa tämä uudelleen f (x) = (sin (x)) ^ 7 koska tämä tekee selväksi, että meillä on 7 ^ (th) teho-toiminto. Käytä tehosääntöä ja ketjusääntöä (tätä yhdistelmää kutsutaan usein yleistetyksi tehosäännöksi.) F (x) = (g (x)) ^ n: n johdannainen on f '(x) = n (g (x) ) ^ (n-1) * g '(x), Muissa merkinnöissä d / (dx) (u ^ n) = nu ^ (n-1) (du) / (dx) Kummassakin tapauksessa kysy Lue lisää »

F (x) = ln ((x + 3) / 5) +1 Tiedämme, että int1 / xdx = lnx + C, joten: int1 / (x + 3) dx = ln (x + 3) + C Siksi f ( x) = ln (x + 3) + C. Meille annetaan alkutila f (2) = 1. Tarvittavien substituutioiden tekeminen: f (x) = ln (x + 3) + C -> 1 = ln ((2) +3) + C -> 1-ln5 = C Nyt voidaan kirjoittaa f (x) as. f (x) = ln (x + 3) + 1-ln5, ja tämä on lopullinen vastaus. Jos haluat, voit käyttää seuraavaa luonnollista log-ominaisuutta yksinkertaistamiseksi: lna-lnb = ln (a / b) Tätä käyttämällä ln (x + 3) -ln5, saamme ln ((x + 3) / 5) , joten voimme edelleen il Lue lisää »

Ln (x / 2) +1> Lnx = 1 / x johdannainen, jolloin 1 / x "on" lnx rArrF (x) = int1 / x dx = lnx + c. 2) = 1 ln2 + c = 1 c = 1 - ln2 rArr F (x) = lnx + 1-ln2 käyttäen • lnx-lny = ln (x / y) "yksinkertaistaa" rArr int1 / x dx = ln ( x / 2) +1 Lue lisää »

F (x) = 1 / 3x ^ 3 - 3 / 2x ^ 2 + 13/3 F (x): n integrointi: x ^ 3/3 - 3 / 2x ^ 2 + cf (2) = 1 mahdollistaa integraation vakion ( c) löytyy arvioimalla x = 2, y = 1 rArr 2 ^ 3/3 -3 xx 2 ^ 2/2 + c = 1 rArr 8/3 - 6 + c = 1 rArr c = 1 + 6 - 8/3 = 13/3 rArr f (x) = 1/3 x ^ 3 - 3/2 x ^ 2 + 13/3 Lue lisää »

Löysin: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Ratkaistaan määrittelemätön integraali: int (x ^ 2 + x-3) dx = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + c ja sitten käytämme ehtomme löytää c: f (2) = 3 = (2 ^ 3) / 3 + (2 ^ 2) / 2- (3 * 2) + c: 3 = 8/3 + 4 / 2-6 + cc = 3-8 / 3-2 + 6 c = 7-8 / 3 = (21-8) / 3 = 13/3 ja lopullinen: f (x) = x ^ 3/3 + x ^ 2 / 2-3x + 13/3 Lue lisää »

F (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 f (x) = intx-3 dx = (x ^ 2) / 2-3x + c Subbing 2, f (2) = ((2) ^ 2) / 2-3 (2) + c = 2-6 + c = -4 + c Koska f (2) = 3, -4 + c = 3 c = 7: .f (x) = (x ^ 2) / 2-3x + 7 Lue lisää »

F (x) = xe ^ xe ^ x + 3-e ^ 2 f (x) = intxe ^ xdx, f (2) = 3 käytämme integrointia osilla f (x) = intu (dv) / (dx) dx = uv-intv (du) / (dx) dx tässä tapauksessa u = x => (du) / (dx) = 1 (dv) / (dx) = e ^ x => v = e ^ x: .f (x) = xe ^ x-inte ^ xdx f (x) = xe ^ xe ^ x + cf (2) = 3:. f (2) = 3 = 2e ^ 2-e ^ 2 + c c = 3-e ^ 2 f (x) = xe ^ x-e ^ x + 3-e ^ 2 Lue lisää »

Sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / 2ln (abs (sqrt (1 + x ^ 2) -1)) + C Käytä u ^ 2 = 1 + x ^ 2, x = sqrt (u ^ 2-1) 2u (du) / (dx) = 2x, dx = (udu) / x intsqrt (1 + x ^ 2) / xdx = int ( usqrt (1 + x ^ 2)) / x ^ 2du intu ^ 2 / (u ^ 2-1) du = int1 + 1 / (u ^ 2-1) du 1 / (u ^ 2-1) = 1 / ((u + 1) (u-1)) = A / (u + 1) + B / (u-1) 1 = A (u-1) + B (u + 1) u = 1 1 = 2B, B = 1/2 u = -1 1 = -2A, A = -1 / 2 int1-1 / (2 (u + 1)) + 1 / (2 (u-1)) du = u-1 / 2ln (abs (u + 1)) + 1 / 2ln (abs (u-1)) + C u = sqrt (1 + x ^ 2) palautetaan takaisin: sqrt (1 + x ^ 2) -1 / 2ln ( abs (sqrt (1 + x ^ 2) +1)) + 1 / Lue lisää »

(sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13.0,0.0768 ^ c) Tietyn koordinaattijoukon (x, y), (x, y) -> (rcostheta, rsintheta) r kohdalla = sqrt (x ^ 2 + y ^ 2) theta = tan ^ -1 (y / x) r = sqrt (13 ^ 2 + 1 ^ 2) = sqrt (169 + 1) = sqrt (170) = 13,0 theta = tan ^ -1 (1/13) = 0,0768 ^ c (13,1) -> (sqrt (170), tan ^ -1 (1/13)) - = (13,0,0.0768 ^ c) Lue lisää »

Tätä ei voi vastata ilman asiayhteyttä. Tässä muutamia matematiikan käyttötarkoituksia. Sarjalla on ääretön kardinaalisuus, jos se voidaan kartoittaa yhdestä toiseen sopivaan alaryhmään. Tämä ei ole loputtomuuden käyttö laskelmassa. Laskelmassa käytämme "ääretöntä" kolmella tavalla. Intervallin merkintä: Symbolit oo (vastaavasti -oo) ilmaisevat, että aikavälillä ei ole oikeaa (vastaavasti vasenta) päätepistettä. Aikaväli (2, oo) on sama kuin asetettu x Infinite Lue lisää »

Hetkellinen nopeus on nopeus, jolla kohde kulkee täsmälleen määritetyllä hetkellä. Jos matkustan pohjoiseen täsmälleen 10 m / s tarkalleen kymmenen sekunnin ajan, käänny länteen ja matkustan täsmälleen 5m / s vielä kymmenen sekunnin ajan, keskimääräinen nopeus on suunnilleen 5,59 m / s (suunnilleen) pohjoiseen luoteeseen. Minun hetkellinen nopeuteni on kuitenkin nopeus millä tahansa pisteellä: täsmälleen viisi sekuntia matkalle minun hetkellinen nopeus on 10 m / s pohjoiseen; täsmälleen 15 sekunnissa, se on 5 Lue lisää »

Jaetaan aikaväli [a, b] yhtäläisten pituisten n aliväliksi. [a, b] - {[x_0, x_1], [x_1, x_2], [x_2, x_3], ..., [x_ {n-1}, x_n]}, jossa a = x_0 <x_1 <x_2 < cdotit <x_n = b. Voimme lähentää tiettyä integraalia int_a ^ bf (x) dx Trapezoidin sääntö T_n = [f (x_0) + 2f (x_1) + 2f (x_2) + cdots2f (x_ {n-1}) + f (x_n)] { ba} / {2n} Lue lisää »

L'hopitalin sääntöä käytetään ensisijaisesti raja-arvon löytämiseen muodossa x-> a muodon f (x) / g (x) funktion, kun f: n ja g: n raja-arvot a ovat sellaiset, että f (a) / g (a) johtaa määrittelemättömään muotoon, kuten 0/0 tai oo / oo. Tällaisissa tapauksissa voidaan ottaa näiden funktioiden johdannaisten raja x-> a. Näin ollen laskettaisiin lim_ (x-> a) (f '(x)) / (g' (x)), joka on yhtä suuri kuin aloitusfunktion raja. Esimerkkinä toiminnosta, jossa tämä voi olla hyödyllinen, harki Lue lisää »

L'Hopitalin sääntö Jos {(lim_ {x - a} f (x) = 0 ja lim_ {x - a} g (x) = 0), (tai), (lim_ {x - a} f (x) = pm infty ja lim_ {x to a} g (x) = pm infty):} sitten lim_ {x - a} {f (x)} / {g (x)} = lim_ {x - a} {f '( x)} / {g '(x)}. Esimerkki 1 (0/0) lim_ {x - 0} {sinx} / x = lim_ {x - 0} {cosx} / 1 = {cos (0)} / 1 = 1/1 = 1 Esimerkki 2 (infty / infty) lim_ {x infty} {x} / {e ^ x} = lim_ {infty} {1} / {e ^ x} = 1 / {e ^ {infty}} = {1} / {infty} = 0 Toivon, että tämä oli hyödyllistä. Lue lisää »

X = -4 ja -8/5 Joten pystysuora asymptoosi on linja, joka ulottuu pystysuoraan äärettömyyteen. Jos huomaamme, se viittaa siihen, että käyrän y-koordinaatti pääsee paljon Infinityyn. Tiedämme, että ääretön = 1/0 Joten, kun verrataan f (x): hen, se tarkoittaa, että f (x): n nimittäjän pitäisi olla nolla. Näin ollen (5x + 8) (x + 4) = 0 Tämä on neliöyhtälö, jonka juuret ovat -4 ja -8/5. Näin ollen x = -4, -8/5 meillä on pystysuora asymptootti Lue lisää »

Sek (5x) tan (5x) * 5 Sek (x) -johdannainen on sec (x) tan (x). Koska kulma on kuitenkin 5x eikä vain x, käytämme ketjun sääntöä. Joten kerromme jälleen 5x: n johdannaisella, joka on 5. Tämä antaa meille lopullisen vastauksen sek (5x) tan (5x) * 5 Toivottavasti auttoi! Lue lisää »

Jos haluat Leibniz-merkinnän, toinen johdannainen on merkitty (d ^ 2y) / (dx ^ 2). Esimerkki: y = x ^ 2 dy / dx = 2x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 2 Jos pidät prime-merkinnästä, toinen derivaatta on merkitty kahdella prime-merkillä, toisin kuin yhdellä merkillä ensimmäisellä johdannaiset: y = x ^ 2 y '= 2x y' '= 2 Samoin, jos funktio on funktion merkinnässä: f (x) = x ^ 2 f' (x) = 2x f '' (x) = 2 eniten ihmiset tuntevat molemmat merkinnät, joten yleensä ei ole väliä mikä merkintä valitset, kunhan ihmiset ymmärtäv& Lue lisää »

Rationaalinen toiminto on se, missä x: n osuus on murto-osassa. Palkin alla olevaa osaa kutsutaan nimittäjäksi. Tämä asettaa rajoitukset x: n verkkotunnukselle, koska nimittäjä ei välttämättä toimi 0: n yksinkertaisena esimerkkinä: y = 1 / x-verkkotunnus: x! = 0 Määrittää myös vertikaalisen asymptoottin x = 0, koska voit tehdä x: n lähellä 0, kuten haluat, mutta älä koskaan saavuta sitä. Se vaikuttaa siihen, siirrytkö kohti 0: ta negatiivisesta negatiivisesta puolesta (katso kuvaa). Sanomme lim_ (x-> 0 Lue lisää »

F '(x) = 72x-18 Yleensä tuotesäännössä todetaan, että jos f (x) = g (x) h (x) ja g (x) ja h (x) joidenkin x: n toimintojen, sitten f' ( x) = g '(x) h (x) + g (x) h' (x). Tässä tapauksessa g (x) = 6x-4 ja h (x) = 6x + 1, joten g '(x) = 6 ja h' (x) = 6. Siksi f (x) = 6 (6x + 1) +6 (6x-4) = 72x-18. Voimme tarkistaa tämän tekemällä ensin g: n ja h: n tuotteen ja sitten erottelemalla. f (x) = 36x ^ 2-18x-4, joten f '(x) = 72x-18. Lue lisää »

Toiminnon absoluuttinen ääriarvo suljetussa aikavälissä [a, b] voi olla tai paikallinen ääriarvo kyseisellä aikavälillä tai pisteet, joiden ascissae on a tai b. Joten, löydetään paikallinen ääriarvo: y '= 2 * (1 * (x ^ 2 + 1) -x * 2x) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 2 * (- x ^ 2 + 1) / (x ^ 2 + 1) ^ 2. y '> = 0, jos -x ^ 2 + 1> = 0rArrx ^ 2 <= 1rArr-1 <= x <= 1. Toimintamme on siis hidastumassa [-2, -1]: ssa ja (1,2): ssa, ja se kasvaa (-1,1): ssä, joten piste A (-1-1) on paikallinen minimi ja piste B (1,1) on paikallinen enimmäisarv Lue lisää »

Minimi kohta kohdassa (1 / e, -1 / e) annetulla f (x) = x * ln x: llä saadaan ensimmäinen derivaatta f '(x), joka vastaa nollaa. f '(x) = x * (1 / x) + ln x * 1 = 0 1 + ln x = 0 ln x = -1 e ^ -1 = xx = 1 / e f (x): n ratkaiseminen x = 1 / ef (x) = (1 / e) * ln (1 / e) f (x) = (1 / e) * (- 1) f (x) = - 1 / e niin piste (1 / e) , -1 / e) sijaitsee neljännellä neljänneksellä, joka on minimipiste. Lue lisää »

(ln (x ^ 4) +4) / (2sqrt (xln (x ^ 4))) Kirjoita uudelleen seuraavasti: [(xln (x ^ 4)) ^ (1/2)] 'Nyt meidän on johdettava ulkoa sisäpuolelle käyttämällä ketjun sääntöä. 1/2 [xln (x ^ 4)] ^ (- 1/2) * [xln (x ^ 4)] 'Täällä saimme tuotteen 1/2 johdannaisen (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [(x ') ln (x ^ 4) + x (ln (x ^ 4))'] 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [1 * ln (x ^ 4) + x (1 / x ^ 4 * 4x ^ 3)] Käyttämällä yksinkertaista algebraa saat näkyvän version: 1/2 (xln (x ^ 4)) ^ (- 1/2) * [ ln (x ^ 4) +4] Ja saamme ratkaisun: (ln Lue lisää »

Etätoiminto on: D = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2) Käsittele tätä. = sqrt ((Deltax) ^ 2 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2 (Deltax) ^ 2) = sqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) Deltax Koska antiviittaja on pohjimmiltaan määrittelemätön integraali, tästä tulee ääretön pieni dx: = sumsqrt (1 + (Deltay) ^ 2 / (Deltax) ^ 2) ääretön summa. Deltax = int sqrt (1 + ((dy) / (dx)) ^ 2) dx joka on kaava minkä tahansa toiminnon kaaren pituudelle, jota voit hallita integroituneena manipulaation jälkeen. Lue lisää »

Minusta on yksinkertaisempaa ajatella tätä, kun tarkastellaan johdannaista ensin. Tarkoitan: mitä erilaistumisen jälkeen olisi vakio? Tietenkin ensimmäinen aste muuttuja. Esimerkiksi jos erottelu johti f '(x) = 5, on selvää, että antivivaattori on F (x) = 5x. Niinpä vakion antivideo on se kertaa kyseinen muuttuja (olipa se sitten x, y, jne. .) Voisimme tehdä näin matemaattisesti: intcdx <=> cx Huomaa, että c on integraalissa 1: intcolor (vihreä) (1) * cdx <=> cx Tämä tarkoittaa ensimmäisen asteen muuttujan erottelua: f (x ) = x Lue lisää »

L = 3 / 4pisqrt (pi ^ 2 + 1) + 3 / 4ln (pi + sqrt (pi ^ 2 + 1)) yksikköä. > r = 3 / 4theta r ^ 2 = 9 / 16theta ^ 2 r '= 3/4 (r') ^ 2 = 9/16 Arclength on: L = int_-pi ^ pisqrt (9 / 16theta ^ 2 + 9/16) detaatti Yksinkertaistaminen: L = 3 / 4int_-pi ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Symmetriasta: L = 3 / 2int_0 ^ pisqrt (theta ^ 2 + 1) d theta Käytä substituutiota theta = tanphi: L = 3 / 2intsec ^ 3phidphi Tämä on tunnettu integraali: L = 3/4 [secphitanphi + ln | secphi + tanphi |] Vaihda korvaus: L = 3/4 [thetasqrt (theta ^ 2 + 1) + ln | theta + sqrt (theta ^ 2 + 1) |] _0 ^ pi Lisä Lue lisää »

N. 27,879 Tämä on ääriviivatapa. Joidenkin töiden hionta on tehty tietokoneella. Kaaren pituus s = int dot s dt ja dot s = sqrt (vec v * vec v) Nyt, kun r r = 4 theta h r vec v = piste r hattu r + r dot theta hattu theta = 4 pistettä theta t hattu r + 4 theta dot theta hattu = 4 pistettä theta (hat r + theta hattu) Joten dot s = 4 pistettä theta sqrt (1 + theta ^ 2) kaaren pituus s = 4 int_ (t_1) ^ (t_2 ) sqrt (1 + theta ^ 2) dot theta dt = 4 int _ (- pi / 4) ^ (pi) sqrt (1 + theta ^ 2) d theta = 2 [theta sqrt (theta ^ 2 + 1) + sinh ^ (- 1) theta] _ (- pi / 4) ^ (pi) -ratkaisu. Katso Lue lisää »

Kaaren pituus ~ ~ 2.42533 (5dp) Kaaren pituus on negatiivinen johtuen alarajasta 1, joka on suurempi kuin ln2: n yläraja. Meillä on parametrinen vektorifunktio, jonka antaa: bb ul r (t) = << te ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t, 1 / t >> Kaaripituuden laskemiseksi tarvitsemme vektorijohdannaisen, jonka voimme laskea käyttämällä tuotesääntöä: bb ul r '(t) = << (t) (2te ^ (t ^ 2)) + (1) (e ^ (t ^ 2)), (t ^ 2) (e ^ t) + (2t) (e ^ t), -1 / t ^ 2 >> = << 2t ^ 2e ^ (t ^ 2) + e ^ (t ^ 2), t ^ 2e ^ t + 2te ^ t, -1 / t ^ 2 >> Sitten laskemme johdannaisvek Lue lisää »

Sqrt (3) Etsimme vektorifunktion kaaren pituutta: bb (ul r (t)) = << t, t, t >> t: lle [1,2], jota voidaan helposti arvioida käyttämällä: L = int_alpha ^ beta bb (ul (r ') (t)) || dt Laskemme johdannaisen, bb (ul (r ') (t)): bb (ul r' (t)) = << 1,1,1 >> Näin saamme kaaren pituuden: L = int_1 ^ 2 || << 1,1,1 >> || dt = int_1 ^ 2qrt (1 ^ 1 + 1 ^ 2 + 1 ^ 2) dt = int_1 ^ 2qrt (3) dt = [sqrt (3) t] _1 ^ 2 = sqrt (3) (2-1) = sqrt (3) Tämä triviaalinen tulos ei saa olla yllätys, koska annettu alkuperäinen yhtälö on suora. Lue lisää »

V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) Tämän tilavuuden laskemiseksi olemme jonkin verran leikkaamassa sen (äärettömän ohuiksi) viipaleiksi. Kuvittelemme aluetta, auttamaan meitä tässä, olen liittänyt kaavion, jossa alue on osa käyrän alapuolella. Huomaa, että y = x ^ 2-1 ylittää rivin x = 5, jossa y = 24 ja että se ylittää linjan y = 0, jossa x = 1 kuvaaja {x ^ 2-1 [1, 5, -1, 24] } Kun leikkaat tätä aluetta horisontaalisissa viipaleissa, joiden korkeus on dy (erittäin pieni). Näiden viipaleiden pi Lue lisää »

Dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ (2/3) Kerro t: n kuutiojuuri suluissa, saamme y = (t ^ (2 + 1 / 3)) + 4 * t ^ (1/3) Tämä antaa meille y = t ^ (7/3) + 4t ^ (1/3) Eriyttämisessä saamme dy / dx = (7 * t ^ (4 / 3)) / 3 + (4 * t ^ (- 2/3)) / 3 Joka antaa dy / dx = (7 * t ^ (4/3)) / 3 + 4 / (3 * t ^ ( 2/3) Lue lisää »

98 F: n keskiarvo arvolla [a, b] on 1 / (b-a) int_a ^ b f (x) dx. Tämä ongelma on 1 / (10-0) int_0 ^ 10 (18x + 8) dx = 1/10 [9x ^ 2 + 8x] _0 ^ 10 = 1/10 [980] = 98. Lue lisää »

Keskiarvo on 4948/5 = 989,6 Keskiarvo f f: ssä [a, b] on 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Joten saamme: 1 / (2-0) int_0 ^ 2 2x ^ 3 (x ^ 2 + 1) ^ 4 dx = 2/2 int_0 ^ 2 x ^ 3 (x ^ 8 + 4x ^ 6 + 10x ^ 4 + 4x ^ 2 + 1) dx = int_0 ^ 2 (x ^ 11 + 4x ^ 9 + 10x ^ 7 + 4x ^ 5 + x ^ 3) dx = x ^ 12/12 + (4x ^ 10) / 10 + (6x ^ 8) / 8 + (4x ^ 6) / 6 + x ^ 4/4] _0 ^ 2 = (2) ^ 12/12 + (2 (2) ^ 10) / 5 + (3 (2) ^ 8) / 4 + (2 (2) ^ 6) / 3 + ( 2) ^ 4/4 = 4948/5 = 9896/10 = 989,6 Lue lisää »

1 / 2sin (2), noin 0,4546487 Funktion f keskiarvo c väliltä [a, b] saadaan arvosta: c = 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Tässä tämä tarkoittaa keskiarvoa arvo: c = 1 / (0 - (- 4)) int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx Käytetään korvausta u = x / 2. Tämä tarkoittaa, että du = 1 / 2dx. Voimme sitten kirjoittaa integraalin sellaisenaan: c = 1 / 4int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) dx c = 1 / 2int _ (- 4) ^ 0cos (x / 2) (1 / 2dx) Jakaminen 1 / 4 osaksi 1/2 * 1/2 mahdollistaa 1 / 2dx: n olevan läsnä integraalissa, jotta voimme helposti tehdä korvauksen 1 / 2dx = du. Meidä Lue lisää »

Keskiarvo on 16/3. Funktion f keskiarvo aikavälillä [a, b] on 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Joten arvo, jonka etsimme, on 1 / (5-1) int_1 ^ 5 (x-1) ^ 2 dx = 1/4 [(x-1) ^ 3/3] _1 ^ 5 = 1/12 [(4) ^ 3- (0) ^ 3] = 16/3 Lue lisää »

Se on (4 (sqrt2-1)) / pi Funktion f keskiarvo aikavälillä [a, b] on 1 / (ba) int_a ^ bf (x) dx Joten arvo, jonka etsimme, on 1 / (pi / 4-0) int_0 ^ (pi / 4) secxtanx dx = 4 / pi [secx] 0 ^ (pi / 4) = 4 / pi [sek (pi / 4) -sec (0)] = 4 / pi [ sqrt2-1] = (4 (sqrt2-1)) / pi Lue lisää »

F: n keskiarvo arvolla [a, b} on 1 / (b-a) int_a ^ bf (x) dx. Tätä toimintoa varten tällä aikavälillä saan -1/3 Ave = 1 / (2-0) int_0 ^ 2 (xx ^ 2) dx = 1/2 [x ^ 2/2-x ^ 3/3] _0 ^ 2 = 1/2 [(4 / 2-8 / 3) - (0)] = 1/2 (-2/3) = -1/3 Lue lisää »

Katso alempaa. Keskiarvo on 1 / (sqrtpi-0) int_0 ^ sqrtpi 10xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpiint_0 ^ sqrtpi 2xsin (x ^ 2) dx = 5 / sqrtpi [-cos (x ^ 2)] _ 0 ^ sqrtpi = 12 / sqrtpi Pedanttinen huomautus (12sqrtpi) / pi EI ole rationaalinen nimittäjä. Lue lisää »

Ota integraali int_1 ^ ooxe ^ -xdx, joka on rajallinen, ja huomaa, että se rajoittaa summaa (n = 2) ^ oo n e ^ (- n). Siksi se on konvergenssi, joten sum_ (n = 1) ^ o n (^) on myös. Integroidun testin muodollinen lausunto ilmoittaa, että jos fin [0, oo] oikealle rRR, monotoninen funktio, joka on ei-negatiivinen. Sitten summa summa_ (n = 0) ^ oof (n) on konvergenssi, jos ja vain jos "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx on äärellinen. (Tau, Terence. Analyysi I, toinen painos. Hindustanin kirjavirasto. 2009). Tämä lausunto saattaa tuntua hieman tekniseltä, mutta ajatus on seura Lue lisää »

D) f (x) = x ^ 3, c = 3 Funktion f (x) johdannaisen määritelmä kohdassa c voidaan kirjoittaa: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f (c)) / h Meidän tapauksessamme näemme, että meillä on (3 + h) ^ 3, joten saatamme arvata, että funktio on x ^ 3 ja että c = 3. Voimme tarkistaa tämän hypoteesin, jos kirjoitamme 27: ksi 3 ^ 3: lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3-27) / h = lim_ (h-> 0) ((3 + h) ^ 3 -3 ^ 3) / h Näemme, että jos c = 3, saisimme: lim_ (h-> 0) ((c + h) ^ 3-c ^ 3) / h Ja voimme nähdä, että toiminto on vain molempiin tapauksiin kuutioitu arvo, jot Lue lisää »

B) f (x) = cos (x), c = pi / 6 Tiedämme: cos (pi / 6) = sqrt3 / 2 Tämä tarkoittaa sitä, että voimme kirjoittaa rajan uudelleen niin: lim_ (h-> 0) (cos ( pi / 6 + h) -cos (pi / 6)) / h Ottaen huomioon funktion f (x) johdannaisen määritelmän kohdassa c: lim_ (h-> 0) (f (c + h) -f) (c)) / h Kohtuullinen arvaus on, että c = pi / 6 ja sen avulla voimme nähdä, että kosinifunktion tulot vastaavat määritelmässä f (x) olevia tuloja: lim_ (h- > 0) (cos (väri (punainen) (c + h)) - cos (väri (punainen) (c))) / h Tämä tarkoittaa Lue lisää »

Int (1-sin ^ 2 (x)) / sin ^ 2 (x) dx = -cot (x) -x + C Voimme ensin jakaa fraktion kahteen: int (1-sin ^ 2 (x )) / sin ^ 2 (x) dx = int 1 / sin ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) / sin ^ 2 (x) dx = = int 1 / sin ^ 2 (x) -1 dx = int 1 / sin ^ 2 (x) dx-x Voimme nyt käyttää seuraavaa identiteettiä: 1 / sin (theta) = csc (theta) int csc ^ 2 (x) x-x Tiedämme, että cot-johdannaisen (x) johdannainen on -csc ^ 2 (x), joten voimme lisätä miinusmerkin sekä sisä- että sisäpuolen sisäpuolelle (niin että ne peruuntuvat), jotta se toimisi: -int t x) dx-x = -cot (x) -x + C Lue lisää »

Sinh (1/2) ~~ 0.52 Tiedämme sinh (x): sinh (x) = (e ^ xe ^ -x) / 2 määritelmän. Koska tiedämme Maclaurin-sarjan e ^ x: lle, voimme käyttää sitä rakenna yksi sinh (x): lle. e ^ x = summa_ (n = 0) ^ oox ^ n / (n!) = 1 + x + x ^ 2/2 + x ^ 3 / (3!) ... Voimme löytää sarjan e ^ - x korvaamalla x -x: e ^ -x = sum_ (n = 0) ^ oo (-x) ^ n / (n!) = summa_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n / (n !) x ^ n = 1-x + x ^ 2/2-x ^ 3 / (3!) ... Voimme vähentää nämä kaksi toisistaan löytääkseen sinh-määritelmän lukijan: väri (valkoinen) Lue lisää »

Dy / dx = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5-x) ^ 2 y = (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5 dy / dx = d / dx [(5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 5] väri (valkoinen) (dy / dx) = (5-x) ^ 3d / dx [(4 + x) ^ 5] + (4 + x) ^ 5d / dx [(5-x) ^ 3] väri (valkoinen) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 * (4 + x) ^ (5- 1) * d / dx [4 + x]) + (4 + x) ^ 5 (3 * (5-x) ^ (3-1) * d / dx [5-x]) väri (valkoinen) (dy / dx) = (5-x) ^ 3 (5 (4 + x) ^ 4 (1)) + (4 + x) ^ 5 (3 (5-x) ^ 2 (-1)) väri (valkoinen) (dy / dx) = 5 (5-x) ^ 3 (4 + x) ^ 4-3 (4 + x) ^ 5 (5 x) ^ 2 Lue lisää »

Dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) Sinun täytyy käyttää ketjun sääntöä. Muistakaa, että kaava tässä on: f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) Ajatuksena on, että otat äärimmäisen toiminnon johdannaisen ensin ja sitten vain työskentelet tavalla. Ennen kuin aloitamme, tunnistetaan kaikki toiminnot tässä lausekkeessa. Meillä on: arcsin (x) (3x) / 4 arcsin (x) on syrjäisin toiminto, joten aloitamme ottamalla sen johdannaisen. Joten: dy / dx = väri (sininen) (d / dx [arcsin (3x / 4)] = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) Lue lisää »

Int x ^ ln (x) dx = e ^ (- 1/4) sqrtpi / 2erfi (ln (x) +1/2) + C Aloitamme u-substituutiolla u = ln (x). Sitten jaamme u: n johdannaisella integroitumaan u: (du) / dx = 1 / x int x ^ ln (x) xx = int x * x ^ u du Nyt meidän on ratkaistava x suhteessa u: u = ln (x) x = e ^ u int x * x ^ u = int e ^ u * (e ^ u) ^ u = int e ^ (u ^ 2 + u) Voit arvata, että tällä ei ole elementaarista johdannaista, ja olisit oikeassa. Voimme kuitenkin käyttää muotoa kuvitteelliseen virhetoimintoon, erfi (x): erfi (x) = int 2 / sqrtpie ^ (x ^ 2) x Jos haluat saada integraalin tähän muotoon, meillä Lue lisää »

Katso alempaa. Ottaen huomioon abs x <1 sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) summa_ (n = 1) ^ oo (- x) ^ n mutta sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 ja d ^ 2 / (dx ^ 2) summa_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 sitten summa_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1 ) ^ 3 Lue lisää »

Int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = ln (1 + cosh (x)) + C Aloitamme lisäämällä u-substituutio u = 1 + cosh (x). U: n johdannainen on sitten sinh (x), joten jakamme sinh (x): n avulla integroitumaan suhteessa u: int sinh (x) / (1 + cosh (x)) dx = int peruuta (sinh (x)) / (peruuta (sinh (x)) * u) du = int 1 / u du Tämä integraali on yhteinen integraali: int 1 / t dt = ln | t | + integraali: ln | u | + C Voimme resubstitute saada: ln (1 + cosh (x)) + C, joka on lopullinen vastaus. Poistamme absoluuttisen arvon logaritmista, koska huomaamme, että cosh on positiivinen sen verkkotunnuksessa, jot Lue lisää »

4 = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} i ^ 2] + (3 / n) [sum_ {i = 1} ^ {i = n} 1] "(Faulhaberin kaava)" = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [(n (n + 1) (2n + 1)) / 6] + (3 / n) [n ] = lim_ {n-> oo} (3 / n ^ 3) [n ^ 3/3 + n ^ 2/2 + n / 6] + (3 / n) [n] = lim_ {n-> oo} [1 + ((3/2)) / n + ((1/2)) / n ^ 2 + 3] = lim_ {n-> oo} [1 + 0 + 0 + 3] = 4 Lue lisää »

Katso alempaa. Valitettavasti integraalin sisällä oleva toiminto ei integroitu johonkin sellaiseen, jota ei voida ilmaista alkeisfunktioina. Sinun täytyy käyttää numeerisia menetelmiä tämän tekemiseen. Voin näyttää, miten käytät sarjalaajennusta saadaksesi likimääräisen arvon. Aloita geometrisen sarjan kanssa: 1 / (1-r) = 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + r ^ 4 ... = summa_ (n = 0) ^ o ^ ^ n rlt1: lle r ja käyttämällä rajoja 0 ja x saadaksesi tämän: int_0 ^ x1 / (1-r) dr = int_0 ^ x 1 + r + r ^ 2 + r ^ 3 + ... dr Vasemm Lue lisää »

Ketjussääntö: f '(g (x)) * g' (x) Erillisessä laskelmassa käytämme ketjun sääntöä, kun meillä on yhdistelmätoiminto. Siinä todetaan: Johdannainen on yhtä suuri kuin ulkoisen funktion johdannainen sisäpuolelta, joka on sisäfunktion johdannainen. Katsotaanpa, mitä se näyttää matemaattisesti: Ketjun sääntö: f '(g (x)) * g' (x) Oletetaan, että meillä on yhdistelmäfunktio sin (5x). Tiedämme: f (x) = sinx => f '(x) = cosx g (x) = 5x => g' (x) = 5 Näin johdannain Lue lisää »

Tiedämme, että toiminto voidaan lähentää tällä kaavalla f (x) = sum_ {k = 0} ^ {n} fr {f ^ ((k)) (x_0)} {k!} (X-x_0) ^ k + R_n (x), jossa R_n (x) on loput. Ja se toimii, jos f (x) on johdettavissa n kertaa x_0. Oletetaan nyt, että n = 4, muuten johdannaisten laskeminen on liian monimutkaista. Lasketaan jokaiselle k = 0 - 4 ilman, että otetaan huomioon loput. Kun k = 0, kaava muuttuu: frac {e ^ (2/0)} {0!} (X-0) ^ 0 Ja näemme, että e ^ (2/0) on undifiend, joten toiminto ei voi arvioidaan lähelle x_0 = 0 Lue lisää »

Tässä on lähestymistapa ... Katsotaanpa ... Lineaarinen on muodossa f (x) = mx + b, jossa m on kaltevuus, x on muuttuja, ja b on y-sieppaus. (Sinä tiesit sen!) Voimme löytää funktion koveruuden löytämällä sen kaksoisjohdannaisen (f '' (x)) ja missä se on nolla. Tehkäämme se sitten! f (x) = mx + b => f '(x) = m * 1 * x ^ (1-1) +0 => f' (x) = m * 1 => f '(x) = m = > f '' (x) = 0 Niinpä tämä kertoo meille, että lineaaristen toimintojen on käyristyttävä joka paikassa. Tietäen, et Lue lisää »

Joten minun on myös käytettävä ketjun sääntöä (x + 1) ^ 2 dy / dx = u'v + v'u u '= 2 (x + 1) * 1 v' = 2 u = (x + 1) ^ 2 v = (2x-1) tuotesääntöön. dy / dx = 2 (2x + 1) * (2x-1) + 2 (x + 1) ^ 2 dy / dx = 2 (4x ^ 2-1) + 2 (x ^ 2 + 2x + 1) dy / dx = 8x ^ 2-2 + 2x ^ 2 + 4x + 2 dy / dx = 10x ^ 2 + 4x Lue lisää »

.Mielestäni se ei ole standardoitu. Opiskelijana yliopistossa Yhdysvalloissa vuonna 1975 käytämme Earl Swokowskin Calculusta (ensimmäinen painos). Hänen määritelmänsä on: Pisteen P (c, f (c)) funktion f kaaviossa on taivutuspiste, jos on avoin aikaväli (a, b), joka sisältää c siten, että seuraavat suhteet pitävät: (i) väri (valkoinen) (') "" f' '(x)> 0, jos <x <c ja f' '(x) <0, jos c <x <b; tai (ii) "" f "(x) <0, jos <x <c ja f '' (x)> 0, jos c <x <b. Lue lisää »

Dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) dy / dx = cosx xx e ^ x + e ^ x xx sinx dy / dx = e ^ x (cosx + sinx) Lue lisää »

Tämä on emäksen b eksponentiaalinen funktio (jossa oletetaan b> 0). Sitä voidaan ajatella b ^ x = e ^ (xln (b)), niin että käyttämällä Chain Rule -ohjelmaa (katso Chain Rule) ja sitä, että (e ^ x) '= e ^ x (katso Exponentials with Base) e) saanto (b ^ x) '= e ^ (xln (b)) = ln (b) = b ^ x ln (b) (katso Exponential-toiminnot). Lue lisää »

Parabolan kaava on y = ax ^ 2 + bx + c, jossa a, b ja c ovat numeroita. Jos otat tämän johdannaisen: d / dx (ax ^ 2 + bx + c) = 2ax + b Joten johdannaisfunktio on y = 2ax + b Jos tämä on vakava, saat aina rivin, koska tämä on ensimmäisen tilauksen funktio. Toivottavasti tämä auttoi. Lue lisää »

10x: n johdannainen suhteessa x on 10. Olkoon y = 10x Erota y suhteessa x: een. (dy) / (dx) = d / (dx) (10x) (dy) / (dx) = xd / (dx) (10) + 10d / (dx) (x) [sinced / (dx) (uv) = ud / (dx) v + vd / (dx) u] (dy) / (dx) = x (0) +10 (1) [d / (dx) (const) = 0; d / (dx) ( x) = 1] (dy) / (dx) = 10 10x: n johdannainen suhteessa x on 10. Lue lisää »

On olemassa sääntö näiden toimintojen erottamiseksi (d) / (dx) [a ^ u] = (ln a) * (a ^ u) * (du) / (dx) Huomaa, että ongelmallemme a = 10 ja u = x niin liitetään siihen, mitä tiedämme. (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) * (du) / (dx) jos u = x sitten, (du) / (dx) = 1 tehon takia sääntö: (d) / (dx) [x ^ n] = n * x ^ (n-1) niin, takaisin ongelmaan, (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * ( 10 ^ x) * (1), joka yksinkertaistaa (d) / (dx) [10 ^ x] = (ln 10) * (10 ^ x) Tämä toimi samalla tavalla, jos u olisi jotain monimutkaisempaa kuin x. Paljon laskelmassa k&# Lue lisää »

D / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Käyttämällä seuraavia standardointisääntöjä: d / dxa ^ (u (x)) = a ^ u * lna * (du) / dx d / dx sinu (x) = cosu (x) * (du) / dx d / dxax ^ n = nax ^ (n-1) Saamme seuraavan tuloksen: d / dx2 ^ (sin (pix)) = 2 ^ (sin (pix)) * ln2 * cospix * (pi) Lue lisää »

(d (2pir)) / (dr) väri (valkoinen) ("XXX") = 2pi (dr) / (dr) johdannaisten värin (valkoinen) ("XXX") jatkuvan säännön mukaan = 2pi ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ Johdannaissopimusten pysyvä sääntö kertoo meille, että jos f ( x) = c * g (x) jonkin vakion c kohdalla, sitten f '(x) = c * g' (x) Tässä tapauksessa f (r) = 2pir; c = 2pi ja g (r) = r Lue lisää »

4x + 1> käyttäen: f (x) = ax ^ n väri (musta) ("niin") f '(x) = nax ^ (n-1) Käytä tätä jokaiselle vuorotellen vuorotellen saadaksesi johdannaisen - Muista, että minkä tahansa vakion johdannainen on 0. d / dx (2x ^ 2 + x - 1) = 4x + 1 Lue lisää »

D / (dx) (- 4 / x ^ 2) = 8x ^ (- 3) Annettu, -4 / x ^ 2 Kirjoita lauseke uudelleen käyttämällä (dy) / (dx) -merkintää. d / (dx) (- 4 / x ^ 2) Hajota fraktio. = d / (dx) (- 4 * 1 / x ^ 2) Käyttämällä kertomista vakiona, (c * f) '= c * f', tuo esiin -4. = -4 * d / (dx) (1 / x ^ 2) Uudelleenkirjoittaminen 1 / x ^ 2 käyttämällä eksponentteja. = -4 * d / (dx) (x ^ -2) Käyttämällä tehosääntöä d / (dx) (x ^ n) = n * x ^ (n-1), ilmaisu tulee, = -4 * - 2x ^ (- 2-1) Yksinkertaista. = Väri (vihreä) (| bar (i Lue lisää »

D / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = - 6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Mielestäni on helpoin ajatella eksponenttimuodossa ja käyttää tehosääntöä: d / (dx) x ^ n = nx ^ (n-1) seuraavasti: d / (dx) (5 + 6 / x + 3 / x ^ 2) = d / (dx) (5 + 6x ^ (- 1 ) + 3x ^ (- 2)) = 0 + 6 ((- 1) x ^ (- 2)) + 3 ((- 2) x ^ (- 3)) = -6x ^ (- 2) -6x ^ (-3) = -6 / x ^ 2-6 / x ^ 3 Lue lisää »

-5 nyt erottelun tehosääntö on: d / (dx) (ax ^ n) = anx ^ (n-1): .d / (dx) (- 5x) = d / (dx) (- 5x ^ 1 ) = -5xx1xx x ^ (1-1) käyttämällä tehosääntöä = -5x ^ 0 = -5, jos käytämme määritelmää (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (f (x + h) -f) (x)) / h meillä on (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 (x + h) - -5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5x-5h + 5x) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5 h) / h (dy) / (dx) = Lim_ (h rarr0) (- 5) = - 5 kuten aiemmin Lue lisää »

D / dx | u | = u / | u | * (du) / dx-absoluuttisen arvon funktio, kuten y = | x-2 | voidaan kirjoittaa näin: y = sqrt ((x-2) ^ 2) soveltaa erottelua: y '= (2 (x-2)) / (2sqrt ((x-2) ^ 2)) rarrpower-sääntö yksinkertaistuu, y '= (x-2) / | x-2 | jossa x! = 2 niin yleensä d / dxu = u / | u | * (du) / dx Laitan tämän kaksoisarkistukseen vain varmistaakseni. Lue lisää »

Oletan, että viittaat tasasivuiseen hyperbolaan, koska se on ainoa hyperbola, joka voidaan ilmaista todellisen muuttujan todellisena funktiona. Toiminto määritellään f (x) = 1 / x. Määritelmän mukaan x (in-infty, 0) kupissa (0, + infty) johdannainen on: f '(x) = lim_ {h - 0} {f (x + h) -f (x)} / { h} = lim_ {h - 0} {1 / {x + h} -1 / x} / {h} = lim_ {h - 0} {{x- (x + h)} / {(x + h) x}} / {h} = lim_ {h - 0} {- h} / {xh (x + h)} = lim_ {h - 0} {- 1} / {x ^ 2 + hx} = - 1 / x ^ 2 Tämä voidaan saada myös seuraavalla derivointisääntöllä, joka koskee al Lue lisää »

5 Et ole varma siitä, että olet täällä. Tulkitsen tätä seuraavasti: f (x) = 5x johdannainen: d / dx 5x = 5 Tämä saadaan käyttämällä tehosääntöä: d / dx x ^ n = n * x ^ (n-1) Esimerkistä: d / dx 5x ^ 1 = (1) * 5x ^ (1-1) = 5 * x ^ 0 = 5 * 1 = 5 Lue lisää »

Sivukommentti, joka alkaa: merkinnällä cos ^ -1 käänteisessä kosinifunktiossa (tarkemmin sanottuna kosinin rajoituksen käänteinen funktio [0, pi]) on laaja, mutta harhaanjohtava. Itse asiassa vakio-yleissopimus eksponenteille, kun käytetään trig-toimintoja (esim. Cos ^ 2 x: = (cos x) ^ 2) viittaa siihen, että cos ^ (- 1) x on (cos x) ^ (- 1) = 1 / (cos x) Se ei tietenkään ole, mutta merkintä on hyvin harhaanjohtava.Vaihtoehtoinen (ja yleisesti käytetty) merkintä arccos x on paljon parempi, nyt johdannaiselle Tämä on komposiitti, joten Lue lisää »

F '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2 Quotient-säännön käyttäminen, joka on y = f (x) / g (x), sitten y '= (f' (x) g (x) f (x) g '(x)) / (g (x)) ^ 2 Tämän soveltaminen tiettyyn ongelmaan, joka on f (x) = (cos ^ -1x ) / x f '(x) = ((cos ^ -1x)' (x) - (cos ^ -1x) (x) ') / x ^ 2 f' (x) = (- 1 / sqrt (1- x ^ 2) * x-cos ^ -1x) / x ^ 2 f '(x) = - 1 / (xsqrt (1-x ^ 2)) - (cos ^ -1x) / x ^ 2, jossa -1 Lue lisää »

Implicit differification, f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Katsokaamme joitakin yksityiskohtia. Korvaa f (x) y: llä, y = cot ^ {- 1} x uudelleenkirjoituksella cotangentin mukaan, Rightarrow coty = x implisiittisesti erottamalla x: n suhteen, Rightarrow -csc ^ 2ycdot {dy} / {dx} = 1 jakamalla -csc ^ 2y: n, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {csc ^ 2y} avulla trig-identiteetillä csc ^ 2y = 1 + cot ^ 2y = 1 + x ^ 2, Rightarrow {dy} / {dx} = - 1 / {1 + x ^ 2} Näin ollen f '(x) = - 1 / {1 + x ^ 2} Lue lisää »

Dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) Prosessi: 1.) y = "arccsc" (x) Ensin kirjoitamme yhtälön muodossa, joka on helpompi työskennellä. Otetaan kummankin puolen kosekantti: 2.) csc y = x Uudelleenkirjoitus sinin suhteen: 3.) 1 / siny = x Ratkaise y: lle: 4.) 1 = xsin y 5.) 1 / x = sin y 6. ) y = arcsin (1 / x) Nyt johdannaisen ottaminen on helpompaa. Se on nyt vain ketjun sääntö. Tiedämme, että d / dx [arcsin alpha] = 1 / sqrt (1 - alfa ^ 2) (on olemassa todiste tästä identiteetistä täällä) Joten ota ulkopuolisen toiminnon johdannainen ja k Lue lisää »

F '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Selitys: f (x) = e ^ (4x) log (1 x) Muuntaminen kohteesta pohja 10 ef (x) = e ^ (4x) ln (1 x) / ln10 käyttämällä tuotesääntöä, joka on y = f (x) * g (x) y '= f (x) * g' ( x) + f '(x) * g (x) Samoin seuraavat ongelmat seuraavat: f' (x) = e ^ (4x) / ln10 * 1 / (1-x) (- 1) + ln (1 x) / ln10 * e ^ (4x) * (4) f '(x) = e ^ (4x) / ln10 (4ln (1-x) -1 / (1-x)) Lue lisää »

-tan (x) / ln (2) f (x) = log_2 (cos (x)) = ln (cos (x)) / ln (2) 1 / ln (2) on vain vakio ja se voidaan jättää huomiotta. (ln (u)) '= (u') / uu = cos (x), u '= - sin (x) f' (x) = 1 / ln (2) * (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) / ln (2) Lue lisää »

Vuonna f (x) = ln (cos (x)) meillä on funktion funktio (se ei ole kertolasku, vain sanonta), joten meidän on käytettävä johdannaisten ketjua: d / dx (f (g ( x)) = f '(g (x)) * g' (x) Tätä ongelmaa varten on f (x) = ln (x) ja g (x) = cos (x), meillä on f '(x) = 1 / x ja g '(x) = - sin (x), sitten liitetään g (x) kaavaan f' (*). D / dx (ln (cos (x))) = 1 / ( cos (x)) * d / dx (cos (x)) = (1) / (cos (x)) * (- sin (x)) = (- sin (x)) / cos (x) = - tan (x) Tämä on syytä muistaa myöhemmin, kun opit integraaleista! Lue lisää »

Ensinnäkin, kirjoitamme funktion uudelleen luonnollisten logaritmien perusteella käyttämällä perusvaihtoehtoa: f (x) = ln (e ^ x + 3) / ln4 Eriyttäminen edellyttää ketjuregistelmän käyttöä: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * d / (d (e ^ x + 3)) [ln (e ^ x + 3)] * d / dx [e ^ x + 3] Tiedämme, että koska ln: n johdannainen x suhteessa x on 1 / x, sitten ln: n (e ^ x + 3) johdannainen suhteessa e ^ x + 3 on 1 / (e ^ x + 3). Tiedämme myös, että e ^ x + 3: n johdannainen x: n suhteen on yksinkertaisesti e ^ x: d / dx f (x) = 1 / ln 4 * 1 / (e ^ x + 3) * Lue lisää »

F '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) -ratkaisu Olkoon y = ln (f (x)) Erottelu x: n suhteen käyttämällä ketjua, saamme, y' = 1 / f (x) * f '(x) Samoin seuraa annettua ongelma-tuottoa, f' (x) = 1 / (e ^ x + 3) * e ^ x f '(x) = e ^ x / (e ^ x + 3) Lue lisää »

Sivuhuomautus, joka alkaa: merkinnällä sin ^ -1 käänteisessä sini-funktiossa (tarkemmin sanottuna siniaalin rajoituksen käänteisfunktio [-pi / 2, pi / 2]) on laaja, mutta harhaanjohtava. Itse asiassa standardi, joka koskee eksponentteja, kun käytetään trig-funktioita (esim. Sin ^ 2 x: = (sin x) ^ 2, viittaa siihen, että sin ^ (- 1) x on (sin x) ^ (- 1) = 1 / (sin x) Se ei tietenkään ole, mutta merkintä on hyvin harhaanjohtava.Vaihtoehtoinen (ja yleisesti käytetty) merkintä arcsin x on paljon parempi. Nyt on johdannainen. Tämä on kompo Lue lisää »

F '(x) = 2 (cosec2x) Ratkaisu f (x) = ln (tan (x)) aloitetaan yleisellä esimerkillä, oletetaan, että meillä on y = f (g (x)), sitten, ketjun sääntö, y' = f '(g (x)) * g' (x) Samoin seuraa annettua ongelmaa, f '(x) = 1 / tanx * sek ^ 2x f' (x) = cosx / sinx * 1 / (cos ^ 2x) f '(x) = 1 / (sinxcosx) yksinkertaistamiseksi edelleen, kerrotaan ja jaetaan 2: lla, f' (x) = 2 / (2sinxcosx) f '(x) = 2 / (sin2x) f' (x) = 2 (cosec2x) Lue lisää »

Menetelmä 1: Aloitamme käyttämällä perusasetussääntöä uudelleen (f) (x) = (lnx / ln6) ^ 2. Tiedämme, että d / dx [ln x] = 1 / x . (jos tämä identiteetti näyttää tuntemattomalta, tarkista joitakin tämän sivun videoita lisäselvityksistä.) Niinpä sovellamme ketjun sääntöä: f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * d / dx [ln x / ln 6] Ln x / 6: n johdannainen on 1 / (xln6): f '(x) = 2 * (lnx / ln6) ^ 1 * 1 / (xln 6) Yksinkertaistaminen antaa meille: f' (x) = (2lnx) / (x (ln6) ^ 2) Menetelmä 2: Ens Lue lisää »

Oletan, että lokin avulla tarkoitat logaritmia, jossa on pohja 10. Ei pitäisi olla ongelma joka tapauksessa, koska logiikka koskee myös muita tukiasemia. Ensin sovelletaan perusvaihtoehtoa: f (x) = y = ln (x ^ 2 + x) / ln (10) Voimme pitää 1 / ln10 vain vakiona, joten ota lukija ja käytä ketjun sääntöä: dy / dx = 1 / ln (10) * 1 / (x ^ 2 + x) * (2x + 1) Yksinkertaista bitti: dy / dx = (2x + 1) / (ln ( 10) * (x ^ 2 + x)) Johdannaisemme on. Muista, että logaritmien johdannaisten ottaminen ilman perustaa e on vain kysymys siitä, käytetäänkö p Lue lisää »

Johdannainen on f '(x) = (1-logx) / x ^ 2. Tämä on esimerkki Quotient-säännöstä: Quotient-sääntö. Sekvenssisääntö määrää, että funktion f (x) = (u (x)) / (v (x)) johdannainen on: f '(x) = (v (x) u' (x) -u (x ) v '(x)) / (v (x)) ^ 2. Tarkemmin sanottuna: f '(x) = (vu'-uv') / v ^ 2, jossa u ja v ovat toimintoja (erityisesti alkuperäisen funktion f (x) lukija ja nimittäjä). Tässä nimenomaisessa esimerkissä annamme u = logx ja v = x. Siksi u '= 1 / x ja v' = 1. Korvaamalla n Lue lisää »

Quotient-sääntö, y '= {1 / x cdot x-lnx cdot 1} / {x ^ 2} = {1-lnx} / {x ^ 2} Tämä ongelma voidaan ratkaista myös tuotesääntöllä y' = f '(x) g (x) + f (x) g (x) Alkuperäinen toiminto voidaan myös kirjoittaa uudelleen käyttämällä negatiivisia eksponentteja. f (x) = ln (x) / x = ln (x) * x ^ -1 f '(x) = 1 / x * x ^ -1 + ln (x) * - 1x ^ -2 f' (x ) = 1 / x * 1 / x + ln (x) * - 1 / x ^ 2 f '(x) = 1 / x ^ 2-ln (x) / x ^ 2 f' (x) = (1- ln (x)) / x ^ 2 Lue lisää »

D / dx [sec ^ -1x] = 1 / (sqrt (x ^ 4 - x ^ 2)) Prosessi: Ensinnäkin voimme tehdä yhtälön hieman helpommaksi käsitellä. Ota molempien puolien sekantti: y = sec ^ -1 x sec y = x Seuraavaksi kirjoittaa uudelleen cos: 1 / cos y = x ja ratkaise y: 1 = xcosy 1 / x = kodikas y = arccos (1 / x) Nyt tämä näyttää paljon helpommalta erottaa toisistaan. Tiedämme, että d / dx [arccos (alfa)] = -1 / (sqrt (1-alfa ^ 2)), jotta voimme käyttää tätä identiteettiä sekä ketjuristiä: dy / dx = -1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx [1 / x] Y Lue lisää »

Useimmat ihmiset muistavat tämän f '(x) = 1 / {sqrt {1-x ^ 2}} yhtenä johdannaiskaavoista; Voit kuitenkin saada sen implisiittisellä erottelulla. Johdetaan johdannainen. Olkoon y = sin ^ {- 1} x. Uudelleenkirjoittamalla sinia, siny = x: n erottamalla epäsuorasti x: n suhteen, kodikas cdot {dy} / {dx} = 1 jakamalla viihtyisällä {{}} {{dx} = 1 / viihtyisällä By cozy = sqrt { 1-sin ^ 2y}, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-sin ^ 2y} Siny = x, {dy} / {dx} = 1 / sqrt {1-x ^ 2} Lue lisää »

Tämän esimerkin johdannainen sisältää ketjun säännön ja tehosäännön. Muunna neliöjuuri eksponentiksi. Käytä sitten tehonsääntöä ja ketjun sääntöä. Sen jälkeen yksinkertaista ja poista negatiiviset eksponentit. f (x) = sqrt (1 + ln (x)) f (x) = (1 + ln (x)) ^ (1/2) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x )) ^ ((1/2) -1) * (0 + 1 / x) f '(x) = (1/2) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) * ( 1 / x) f '(x) = (1 / (2x)) (1 + ln (x)) ^ ((- 1/2)) f' (x) = 1 / (2xsqrt (1 + ln (x ))) Lue lisää »

Minusta tuntuu muistavan professorini unohtamatta sitä, miten tämä johtuu. Tämän osoitin hänelle: y = arctanx tany = x sec ^ 2y (dy) / (dx) = 1 (dy) / (dx) = 1 / (sek ^ 2y) Koska tany = x / 1 ja sqrt (1 ^ 2 + x ^ 2) = sqrt (1 + x ^ 2), sek ^ 2y = (sqrt (1 + x ^ 2) / 1) ^ 2 = 1 + x ^ 2 => väri (sininen) ((dy ) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2)) Luulen, että hän aikoi alun perin tehdä tämän: (dy) / (dx) = 1 / (sek ^ 2y) sek ^ 2y = 1 + tan ^ 2y tan ^ 2y = x -> sek ^ 2y = 1 + x ^ 2 => (dy) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) Lue lisää »

F '(x) = 3x ^ 2-6x Tarvitsemme summaussäännön (u + v + w)' = u '+ v' + w 'ja että (x ^ n)' = nx ^ (n-1) niin saamme f '(x) = 3x ^ 2-6x Lue lisää »

Kun erotat eksponentiaalin muuhun kuin e: hen, käytä perusperiaatetta muuntamalla se luonnollisiksi logaritmeiksi: f (x) = x * lnx / ln5 Nyt erottele ja käytä tuotesääntöä: d / dxf (x) = d / dx [x] * lnx / ln5 + x * d / dx [lnx / ln5] Tiedämme, että ln x: n johdannainen on 1 / x. Jos käsittelemme 1 / ln5 vakiona, niin voimme vähentää edellä olevaa yhtälöä arvoon d / dxf (x) = lnx / ln5 + x / (xln5) Saantojen yksinkertaistaminen: d / dxf (x) = (lnx + 1) / LN5 Lue lisää »

Funktio f (x) = x * ln (x) on muodoltaan f (x) = g (x) * h (x), joka tekee siitä sopivan tuotesääntöjen käyttöön. Tuotesäännön mukaan kahden tai useamman toiminnon tuottaman toiminnon johdannaisen löytämiseksi käytetään seuraavaa kaavaa: f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) meidän tapauksessa voimme käyttää seuraavia arvoja kullekin toiminnolle: g (x) = xh (x) = ln (x) g '(x) = 1 h' (x) = 1 / x Kun korvataan jokainen näistä tuotesääntö, saamme lopullisen vastauksen: f '(x) = 1 * ln Lue lisää »

(df) / dx = sqrt (1-x ^ 2) - x ^ 2 / (sqrt (1-x ^ 2)). Vaadimme kahta sääntöä: tuotesääntöä ja ketjun sääntöä. Tuotesäännössä todetaan, että: (d (fg)) / dx = (df) / dx * g (x) + f (x) * (dg) / dx. Ketjun säännössä todetaan, että: (dy) / dx = (dy) / (du) (du) / dx, jossa u on x: n ja y: n funktio u: sta. Siksi (df) / dx = (x) '* (sqrt (1-x ^ 2)) + x * (sqrt (1-x ^ 2))' Voit etsiä sqrt-johdannaisen (1-x ^ 2) , käytä ketjun sääntöä, jossa u = 1-x ^ 2: (sqrtu) '= 1 / (2sqr Lue lisää »

G '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Jos haluat löytää g (x): n johdannaisen, sinun täytyy erottaa jokainen termi summassa g' (x) = d / dx (x) + d / dx ( 4 / x) Tehosääntöä on helpompi nähdä toisella aikavälillä kirjoittamalla se uudelleen g '(x) = d / dx (x) + d / dx (4x ^ -1) g' (x) = 1 + 4d / dx (x ^ -1) g '(x) = 1 + 4 (-1x ^ (- 1-1)) g' (x) = 1 + 4 (-x ^ (- 2)) g '( x) = 1 - 4x ^ -2 Lopuksi voit kirjoittaa uuden uuden termin murto-osaksi: g '(x) = 1-4 / (x ^ 2) Lue lisää »

Voit käsitellä i: tä millä tahansa vakiona kuten C. Näin i: n johdannainen olisi 0. Kuitenkin, kun käsittelemme monimutkaisia numeroita, meidän on oltava varovaisia sen suhteen, mitä voimme sanoa toiminnoista, johdannaisista ja integraaleista. Ota toiminto f (z), jossa z on kompleksiluku (eli f: llä on monimutkainen verkkotunnus). Sitten f: n johdannainen määritellään samalla tavalla kuin todellinen tapaus: f ^ prime (z) = lim_ (h - 0) (f (z + h) -f (z)) / (h), jossa h on nyt monimutkainen numero. Koska monimutkaisia numeroita voidaan ajatella olevan melke Lue lisää »

(ln (2x)) '= 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Käytät ketjun sääntöä: (f @ g) '(x) = (f (g (x)))' = f '(g (x)) * g' (x). Sinun tapauksessa: (f @ g) (x) = ln (2x), f (x) = ln (x) ja g (x) = 2x. Koska f '(x) = 1 / x ja g' (x) = 2, meillä on: (f @ g) '(x) = (ln (2x))' = 1 / (2x) * 2 = 1 / x. Lue lisää »

Kun otetaan huomioon funktio (lineaarinen): y = mx + b, jossa m ja b ovat todellisia lukuja, tämän toiminnon johdannainen y '(suhteessa x: een) on: y' = m Tämä toiminto, y = mx + b, edustaa graafisesti suoraa viivaa ja numero m edustaa viivan viivaa (tai jos haluat viivan kaltevuuden). Kuten näette, lineaarisen funktion y = mx + b johdosta saat m, linjan kaltevuuden, joka on melko taantuva tulos, jota käytetään laajalti Calculuksessa! Esimerkkinä voit tarkastella funktiota: y = 4x + 5, joista jokainen tekijä voi johtaa: 4x: n johdannainen on 4 johdannainen 5 on 0 ja Lue lisää »

Pi * r ^ 2: n johdannainen (olettaen, että tämä on suhteessa r: hen) on väri (valkoinen) ("XXX") (d pir ^ 2) / (dr) = väri (punainen) (2pir) Yleensä teho sääntö yleisen muodon f (x) = c * x ^ a funktion erottamiseksi, jossa c on vakio (df (x)) / (dx) = a * c * x ^ (a-1) Tässä tapauksessa väri (valkoinen) ("XXX") vakio (c) on pi väri (valkoinen) ("XXX"), eksponentti (a) on 2 väriä (valkoinen) ("XXX") ja käytämme r: tä muuttujamme, x: n sijasta väri (valkoinen) ("XXX") (d (pir ^ 2)) Lue lisää »