Laskenta

F (x): n ääriarvo on: Max 2: sta x = 0 Minissä 0: ssa x = 2, -2 Voit selvittää minkä tahansa toiminnon ääriarvon seuraavasti: 1) Erota toiminto 2) Määritä johdannainen 0 0) Ratkaisu tuntemattomalle muuttujalle 4) Korvaa ratkaisut f (x): ksi (EI johdannainen) Esimerkissä f (x) = sqrt (4-x ^ 2): f (x) = (4 -x ^ 2) ^ (1/2) 1) Erota toiminto: Ketjun sääntö **: f '(x) = 1/2 (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) * (- 2x ) Yksinkertaistaminen: f '(x) = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1/2) 2) Määritä johdannainen 0: 0 = -x (4-x ^ 2) ^ (- 1 / 2) Nyt, koska täm&# Lue lisää »

Toiminnolla ei ole paikallista ääriarvoa. f '(x) = 7/2 (x + 1) ^ 6 ei ole koskaan määrittelemätön ja on 0 vain x = -1. Joten ainoa kriittinen luku on -1. Koska f '(x) on positiivinen molemmilla puolilla -1, f: llä ei ole minimiä eikä maksimia kohdassa -1. Lue lisää »

(0, -1) Paikallinen ääriarvo esiintyy, kun f '(x) = 0. Etsi siis f '(x) ja aseta se arvoksi 0. f' (x) = 2x 2x = 0 x = 0 On paikallinen ääriarvo (0, -1). Tarkista kaavio: kaavio {x ^ 2-1 [-10, 10, -5, 5]} Lue lisää »

Tällä toiminnolla ei ole paikallista ääriarvoa. Paikallisessa ekstremumissa on oltava f prime (x) = 0 Nyt, f prime (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x + 8 Tarkastellaanpa, voiko tämä hävitä. Jotta tämä tapahtuisi, g (x) = (x ^ 2 + 8x + 3) e ^ x: n arvon on oltava -8. Koska g prime (x) = (x ^ 2 + 10x + 11) e ^ x, g (x): n ääriarvo on kohdissa, joissa x ^ 2 + 10x + 11 = 0, eli x = -5 pm sqrt {14}. Koska g (x) - infty ja 0 x-pm-inftyinä, on helppo nähdä, että minimiarvo on x = -5 + sqrt {14}. Meillä on g (-5 + sqrt {14}) ~~ -1.56, niin että f p Lue lisää »

Parabolaella on täsmälleen yksi ääripää, kärki. Se on (-4 1/2, -19 1/4). Koska {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 kaikkialla funktio on kovera kaikkialla, ja tämän kohdan on oltava vähintään. Sinulla on kaksi juurta parabolan kärjen löytämiseen: yksi, käytä laskennan avulla, että johdannainen on nolla; kaksi, välttää laskennan hinnalla millä hyvänsä ja suorita neliö. Käytämme käytännössä laskelmia. f (x) = x ^ 2 + 9x + 1, meidän täytyy ottaa tämän johdannainen. { Lue lisää »

Paikallinen Extrema: x ~~ -1.15 x = 0 x ~~ 1.05 Etsi johdannainen f '(x) Asetus f' (x) = 0 Nämä ovat kriittiset arvot ja mahdolliset paikalliset ääriarvot. Piirrä numeroarvo näiden arvojen kanssa. Liitä arvot kussakin aikavälissä; jos f '(x)> 0, toiminto kasvaa. jos f '(x) <0, toiminto vähenee. Kun toiminto muuttuu negatiivisesta positiiviseksi ja on siinä vaiheessa jatkuva, on paikallinen minimi; ja päinvastoin. f '(x) = [(3x ^ 2 + 4x) (3-5x) - (- 5) (x ^ 3 + 2x ^ 2)] / (3-5x) ^ 2 f' (x) = [9x ^ 2-15x ^ 3 + 12x-20x ^ 2 + 5x ^ 3 + 10x Lue lisää »

X = 0, -4/3 Etsi f (x) = x ^ 2 (x + 2) johdannainen. Sinun täytyy käyttää tuotesääntöä. f '(x) = x ^ 2 + (x + 2) 2x = x ^ 2 + 2x ^ 2 + 4x = 3x ^ 2 + 4x f' (x) = x (3x + 4) Aseta f '(x) kriittisten pisteiden löytämiseksi nolla. x = 0 3x + 4 = 0 rarr x = -4 / 3 f (x): llä on paikallinen ääriarvo x = 0, -4/3. OR f (x): llä on paikallinen ääriarvo kohdissa (0, 0) ja (-4/3, 32/27). Lue lisää »

Toiminnossa on 2 ääriarvoa: f_ {max} (- 2) = 18 ja f_ {min} (2) = - 14 Meillä on toiminto: f (x) = x ^ 3-12x + 2 Extremien löytämiseksi laskemme johdannaisen f '(x) = 3x ^ 2-12 Ensimmäinen ehto äärimmäisten pisteiden löytämiseksi on, että tällaiset pisteet ovat olemassa vain silloin, kun f' (x) = 0 3x ^ 2-12 = 0 3 (x ^ 2-4) = 0) 3 (x-2) (x + 2) = 0 x = 2 vv x = -2 Nyt meidän on tarkistettava, muuttuu johdannainen merkiksi lasketuissa pisteissä: kaavio {x ^ 2-4 [-10, 10, - 4.96, 13.06]} Kaaviosta nähdään, että f (x): ll Lue lisää »

X ^ 3-3x + 6: lla on paikallinen ääriarvo x = -1 ja x = 1 Toiminnon paikallinen ääripiste esiintyy kohdissa, joissa funktion ensimmäinen johdannainen on 0 ja ensimmäisen derivaatan merkki. Eli x: lle, jossa f '(x) = 0 ja joko f' (x-varepsilon) <= 0 ja f '(x + varepsilon)> = 0 (paikallinen minimi) tai f' (x-varepsilon)> = 0 ja f '(x + varepsilon) <= 0 (paikallinen enimmäismäärä) Paikallisen ääriarvon löytämiseksi meidän on löydettävä kohdat, joissa f' (x) = 0. f '(x) = 3x ^ 2 - 3 = 3 (x ^ 2 - 1) Lue lisää »

Maxima = 19 x = -1 Minimi = -89 atx = 5> f (x) = x ^ 3-6x ^ 2-15x + 11 Paikallisen ääriarvon löytäminen löytää ensin kriittisen pisteen f '(x) = 3x ^ 2-12x-15 Asetus f '(x) = 0 3x ^ 2-12x-15 = 0 3 (x ^ 2-4x-5) = 0 3 (x-5) (x + 1) = 0 x = 5 tai x = -1 ovat kriittisiä pisteitä. Meidän täytyy tehdä toinen johdannaisen testi f ^ ('') (x) = 6x-12 f ^ ('') (5) = 18> 0, joten f saavuttaa miniminsä x = 5 ja minimiarvo on f. (5) = - 89 f ^ ('') (- 1) = -18 <0, joten f saavuttaa maksiminsa x = -1 ja maksimiarvo on f (-1) = 19 Lue lisää »

Esitetyllä funktiolla on minimipiste, mutta ei varmasti ole maksimipiste. Annettu funktio on: f (x) = (x ^ 3-4x ^ 2-3) / (8x-4) Kun diffrentaatio on, f '(x) = (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1) ^ 2) Kriittisiä pisteitä varten on asetettava, f '(x) = 0. tarkoittaa (4x ^ 3-3x ^ 2 + 4x + 6) / (4 * (2x-1 ) ^ 2) = 0 tarkoittaa x ~ ~ -0.440489 Tämä on äärimmäisen kohta. Jotta voisimme tarkistaa, saavutetaanko funktio maksimiarvot tai minimit tällä arvolla, voimme tehdä toisen johdannaistestin. f '' (x) = (4x ^ 3-6x ^ 2 + 3x-16) / (2 * (2x-1) ^ 3) f '& Lue lisää »

Tämän toiminnon yksi reaaliluku kriittinen kohta on x n. -9.01844. Paikallinen minimi esiintyy tässä vaiheessa. Quotient-sääntöjen mukaan tämän toiminnon johdannainen on f '(x) = ((x + 6) * 3x ^ 2- (x ^ 3-3) * 1) / ((x + 6) ^ 2) = ( 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3) / ((x + 6) ^ 2) Tämä toiminto on nolla, jos ja vain jos 2x ^ 3 + 18x ^ 2 + 3 = 0. Tämän kuutiometrin juuret sisältävät negatiivisen irrationaalisen (todellisen) numeron ja kaksi monimutkaista numeroa. Todellinen juuri on x noin -9.01844. Jos liität numeron, joka on vähemmän k Lue lisää »

(0.14414, 0.05271) on paikallinen maksimiarvo (1,45035, 0,00119) ja (-1,59449, -1947,21451) ovat paikalliset minimit. . f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x + 1) = 0 e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo Tätä ei voida pitää paikallisena ekstremumina. 3x ^ 3-7x + 1 = 0 Tämän kuutiofunktion juurien ratkaisemiseksi käytämme Newton-Raphson-menetelmää: x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) Tämä on iteratiivinen prosessi, joka vie meidät lähe Lue lisää »

F_min = f (1) = 0 f_max = f (e ^ (- 2)) n. 0,541 f (x) = (xlnx) ^ 2 / x = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x = x ( lnx) ^ 2 Tuotesääntöjen f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 = (lnx) ^ 2 + 2lnx soveltaminen Paikallisten maksimi- tai minimi: f' (x) = 0 Olkoon z = lnx:. z ^ 2 + 2z = 0 z (z + 2) = 0 -> z = 0 tai z = -2 Näin ollen paikalliselle maksimille tai minimi: lnx = 0 tai lnx = -2: .x = 1 tai x = e ^ -2 noin 0.135 Nyt tarkastellaan alla olevaa x (lnx) ^ 2 kuvaa. kuvaaja {x (lnx) ^ 2 [-2,566, 5,23, -1,028, 2,87]} Voimme havaita, että yksinkertaistetulla f (x): llä on paikallinen minimi Lue lisää »

Graafisella menetelmällä paikallinen maksimiarvo on 1.365, lähes käännekohdassa (-0,555, 1,364), lähes. Käyrällä on asymptooti y = 0 larr, x-akseli. Lähestymistapa kääntöpisteeseen (-0,555, 1,364) saatiin siirtämällä linjoja, jotka olivat samansuuntaisia akseleiden kanssa, jotta ne vastaisivat zeniittiä. Kuten kaaviossa on esitetty, voidaan todistaa, että x: stä -oo: ksi, y: stä 0: een ja x: stä oo: iin, y: stä -oo: iin. kaavio {(1 / sqrt (x ^ 2 + e ^ x) -xe ^ x-y) (y-1,364) (x + .555 + .001y) = 0 [-10, 10, -5, 5] Lue lisää »

Meillä on maksimiarvo x = 0 As f (x) = - 2x ^ 2 + 9, f '(x) = - 4x Kuten f' (x) = 0 x = 0, joten meillä on paikallinen ääriarvo x: ssä = -9 / 4 Lisäksi f '' (x) = - 4 ja siten x: ssä 0 on maksimiarvo x = 0-käyrällä {-2x ^ 2 + 9 [-5, 5, -10, 10] } Lue lisää »

Paikallista äärirajaa ei ole. Paikallinen ääriarvo voi tapahtua, kun f '= 0 ja kun f' vaihtuu positiivisesta negatiiviseksi tai päinvastoin. f (x) = x ^ -1-x ^ -3 + x ^ 5-x f '(x) = - x ^ -2 - (- 3x ^ -4) + 5x ^ 4-1 kertominen x ^ 4: llä / x ^ 4: f '(x) = (- x ^ 2 + 3 + 5x ^ 8-x ^ 4) / x ^ 4 = (5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 Paikallinen ääriarvo saattaa ilmetä, kun f '= 0. Koska emme pysty ratkaisemaan, kun tämä tapahtuu algebraalisesti, olkaamme kaavio f ': f' (x): kaavio {(5x ^ 8-x ^ 4-x ^ 2 + 3) / x ^ 4 [-5, 5, -10.93, 55]} f ': ll&# Lue lisää »

Paikallinen ääriarvo on -2sqrt (6) x = -sqrt (3/2) ja 2sqrt (6) x = sqrt (3/2) Paikalliset ääriarvot sijaitsevat kohdissa, joissa funktion ensimmäinen johdannainen arvioi arvoon 0. Niiden löytämiseksi löydämme ensin johdannaisen f '(x) ja sitten ratkaistaan f' (x) = 0. f '(x) = d / dx (2x + 3 / x) = (d / dx2x) ) + d / dx (3 / x) = 2 - 3 / x ^ 2 Seuraavaksi f '(x) = 0 2-3 / x ^ 2 = 0 => x ^ 2 = 3/2 => x = + -sqrt (3/2) Näin ollen arvioimme alkuperäisen toiminnon näissä pisteissä -2sqrt (6) paikallisena maksiminä x = -sqrt (3/2) Lue lisää »

Minima f: 38,827075 x = 4,463151 ja toinen negatiivinen x. Haluan käydä täällä pian, ja muutkin vähimmäisvaatimukset. Käytännössä f (x) = (kaksitasoinen x) / (x-1) ^ 2. Osittaisten fraktioiden menetelmää käyttäen f (x) = x ^ 2 + 3x + 4 + 3 / (x-1) + 42 / (x-1) ^ 2 Tämä lomake paljastaa asymptoottisen parabolan y = x ^ 2 + 3x +4 ja pystysuora asymptoosi x = 1. Kun x on + -oo, f oo. Ensimmäinen kaavio paljastaa parabolisen asymptootin, joka on matala. Toinen paljastaa pystysuoran asymptootin vasemmalla puolella olevan graafin x = 1, ja Lue lisää »

F_ (min) = f (1/4 + 2 ^ (- 5/3)) = (2 ^ (2/3) + 3 + 2 ^ (5/3)) / 4. Huomaa, että f (x) = 4x ^ 2-2x + x / (x-1/4); x RR- {1/4}. = 4x ^ 2-2x + 1 / 4-1 / 4 + {(x-1/4) +1/4} / (x-1/4); xne1 / 4 = (2x-1/2) ^ 2-1 / 4 + {(x-1/4) / (x-1/4) + (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4 = 4 (x-1/4) ^ 2-1 / 4 + {1+ (1/4) / (x-1/4)}; xne1 / 4:. f (x) = 4 (x-1/4) ^ 2 + 3/4 + (1/4) / (x-1/4); xne1 / 4. Nyt, kun kyseessä on paikallinen Extrema, f '(x) = 0, ja f' '(x)> tai <0 ", kuten" f_ (min) tai f_ (max), "resp." f '(x) = 0 rArr 4 {2 (x-1/4)} + 0 + 1/4 {(- 1) / (x-1/4) ^ 2} = 0 ... (ast) rArr 8 (x-1/ Lue lisää »

Oletan, että joko on virhe tai kyseessä on "temppu". 1 ^ x = 1 kaikille x: lle, joten ln1 ^ 1 = ln1 = 0 Siksi f (x) = e ^ xln1 ^ x = e ^ x * 0 = 0 kaikille x: lle. f on vakio. Vähimmäis- ja enimmäismäärät f ovat molemmat 0. Lue lisää »

Katsotaan. Anna toiminnon olla y. : .Y = f (x) = e ^ (x ^ 2) -x ^ 2e ^ x. Nyt löydät dy / dx ja (d ^ 2y) / dx ^ 2. Noudata nyt seuraavassa URL-osoitteessa annettuja ohjeita: rarr http://socratic.org/questions/what-are-the-extrema-of-x-3x-2-30x-74-on-oo-oo. Toivottavasti se auttaa:) Lue lisää »

X = pi / 2 f '' (x) = - 1 meillä on paikallinen maksimi ja x = 3pi / 2, f '' (x) = 1 meillä on paikalliset minimit. Maksimaali on korkea kohta, johon funktio nousee ja laskee sitten uudelleen. Tangentin kaltevuus tai johdannaisen arvo tällöin on nolla. Lisäksi, koska tangentit, jotka ovat maksimista vasemmalle, ovat kaltevia ylöspäin, sitten litistyminen ja sitten viisto alaspäin, tangentin kaltevuus vähenee jatkuvasti, toisin sanoen toisen johdannaisen arvo olisi negatiivinen. Minimit puolestaan on matala kohta, johon funktio laskee ja nousee sitten uudelleen. Lue lisää »

Lähellä + -1,7. Katso kuvaa, joka antaa tämän likiarvon. Yritän antaa tarkempia arvoja myöhemmin. Ensimmäinen kaavio paljastaa asymptootit x = 0, + -pi / 2 + -3 / 2pi, + -5 / 2pi, .. Huomaa, että tan x / x ^ 2 = (1 / x) (tanx / x) on limit + -oo, kuten x - 0 _ + - Toinen (ei-mittakaavan ad hoc) -graafi lähentää paikallista ääriarvoa + -1.7. Haluan parantaa niitä myöhemmin. Maailmanlaajuista äärirajaa ei ole. kaavio {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-20, 20, -10, 10]} kaavio {tan x / x ^ 2 + 2x ^ 3-x [-2, 2, -5, 5 ]} Lue lisää »

X = 1,763 Ota lnx / e ^ x: n johdannainen käyttämällä osamääräystä: f '(x) = ((1 / x) e ^ x-ln (x) (e ^ x)) / e ^ (2x) ae ^ x ylhäältä ja siirrä se nimittäjään: f '(x) = ((1 / x) -ln (x)) / e ^ x Etsi, kun f' (x) = 0 Tämä tapahtuu vain, kun Laskija on 0: 0 = (1 / x-ln (x)) Sinun tarvitsee graafinen laskin tähän. x = 1,763 Alle 1,763: n lukituksen kytkeminen antaisi sinulle positiivisen lopputuloksen, kun numero ylittää 1,763, mikä antaisi sinulle negatiivisen tuloksen. Joten tämä on paikalline Lue lisää »

Minima (0, 0) Maxima (-4/3, 1 5/27) Annettu-y = x ^ 2 (x + 2) y = x ^ 3 + 2x ^ 2 dy / dx = 3x ^ 2 + 4x (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6x + 4 dy / dx = 0 => 3x ^ 2 + 4x = 0 x (3x + 4) = 0 x = 0 3x + 4 = 0 x = -4 / 3 x = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (0) + 4 = 4> 0 x: ssa 0; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2)> 0 Näin ollen funktiolla on minimit x = 0: ssa x = 0; y = (0) ^ 2 (0 + 2) = 0 minima ( 0, 0) at x = -4 / 3; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) = 6 (-4/3) + 4 = -4 <0 at x = -4; dy / dx = 0; (d ^ 2y) / (dx ^ 2) <0 Tällöin funktion maksimit ovat x = -4 / 3 x = -4 / 3; y = (- 4/3) ^ 2 (-4 / 3 + 2) = 1 5/27 Maxima (-4/3, 1 Lue lisää »

Paikallinen enimmäismäärä on 25 + (26sqrt (13/3)) / 3 Paikallinen minimi on 25 - (26sqrt (13/3)) / 3 Paikallisen ääriarvon löytämiseksi voimme käyttää ensimmäistä johdannaistestiä. Tiedämme, että paikallisessa ääriarvossa ainakin funktion ensimmäinen johdannainen on nolla. Joten otetaan ensimmäinen johdannainen ja asetetaan se 0: ksi ja ratkaistaan x: lle. f (x) = -x ^ 3 + 3x ^ 2 + 10x +13 f '(x) = -3x ^ 2 + 6x + 10 0 = -3x ^ 2 + 6x + 10 Tämä tasa-arvo voidaan ratkaista helposti nelikulmaisella kaava. Tapaukse Lue lisää »

MAX (0; 0) ja MIN (-10 / 3,20 / 29) Laskemme f '(x) = - x (3x + 10) / (x ^ 2-3x-5) ^ 2 f' '(x ) = 2 (3x ^ 2 + 15x ^ 2 + 25) / (x ^ 2-3x-5) ^ 3 niin f '(x) = 0, jos x = 0 tai x = -10 / 3 meillä on edelleen f' '(0) = - 2/5 <0 ja f' '(- 10/3) = 162/4205> 0 Lue lisää »

X = -5 f (x) = [(x-2) (x-4) ^ 3] / (x ^ 2-2) x ^ 2-2 = (x + 2) (x-2) tulee: f (x) = [(x-4) ^ 3] / (x + 2) Nyt f '(x) = d / dx [(x-4) ^ 3] / (x + 2) f' (x) = [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 Paikalliselle ekstremumipisteelle f '(x) = 0 Niin [3 ( x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] / (x + 2) ^ 2 = 0 [3 (x + 2) (x-4) ^ 2- (x-4) ^ 3] = 0 3 (x + 2) (x-4) ^ 2 = (x-4) ^ 3 3x + 6 = x-4 2x = -10 x = -5 Lue lisää »

Suhteellinen enimmäismäärä: (-1, 6) suhteellinen minimi: (3, -26) Annettu: f (x) = x ^ 3 - 3x ^ 2 - 9x + 1 Etsi kriittiset numerot löytämällä ensimmäinen johdannainen ja asettamalla se yhtä suureksi nolla: f '(x) = 3x ^ 2 -6x - 9 = 0 tekijä: (3x + 3) (x -3) = 0 kriittiset numerot: x = -1, "" x = 3 Käytä toista johdannaistestiä selvitä, ovatko nämä kriittiset luvut suhteelliset maksimiarvot tai suhteelliset minimit: f '' (x) = 6x - 6 f '' (- 1) = -12 <0 => "suhteellinen max" x = -1 f "( 3) Lue lisää »

1 + -2sqrt (3) / 3 Polynomi on jatkuva ja sillä on jatkuva johdannainen, joten ääriarvo voidaan löytää yhtälöimällä johdannaisfunktio nollaan ja ratkaisemalla saatu yhtälö. Johdannaistoiminto on 3x ^ 2-6x-1 ja sillä on juuret 1 + -sqrt (3) / 3. Lue lisää »

Kääntymispisteet (paikallinen ääriarvo) ilmenevät, kun funktion johdannainen on nolla, eli kun f '(x) = 0. eli kun 3x ^ 2-7 = 0 => x = + - sqrt (7/3). koska toinen johdannainen f '' (x) = 6x ja f '' (sqrt (7/3))> 0 ja f '' (- sqrt (7/3)) <0, se tarkoittaa, että sqrt (7 / 3) on suhteellinen minimi ja -sqrt (7/3) on suhteellinen maksimiarvo. Vastaavat y-arvot voidaan löytää korvaamalla takaisin alkuperäiseen yhtälöön. Funktion kuvaaja tarkistaa yllä olevat laskelmat. kaavio {x ^ 3-7x [-16.01, 16.02, -8.01, 8]} Lue lisää »

(0,15), (4, -17) Paikallinen ekstremumi tai suhteellinen minimi tai maksimi tapahtuu, kun funktion johdannainen on 0. Joten, jos löydämme f '(x), voimme asettaa sen yhtä suureksi arvoon 0. f '(x) = 3x ^ 2-12x Aseta se arvoon 0. 3x ^ 2-12x = 0 x (3x-12) = 0 Aseta kukin osa arvoon 0. {(x = 0), ( 3x-12 = 0rarrx = 4):} Ääriarvo esiintyy kohdassa (0,15) ja (4, -17). Katsokaa niitä kaaviossa: käyrä {x ^ 3-6x ^ 2 + 15 [-42.66, 49.75, -21.7, 24.54]} Ääriarvo tai suunnan muutokset ovat (0,15) ja (4, - 17). Lue lisää »

F (x) _max = (1,37, 8,71) f (x) _min = (4,63, -8,71) f (x) = x ^ 3-9x ^ 2 + 19x-3 f '(x) = 3x ^ 2-18x +19 f '' (x) = 6x-18 Paikalliset maksimi- tai minimimäärät: f '(x) = 0 Siten: 3x ^ 2-18x + 19 = 0 Kvadraattikaavan käyttäminen: x = (18 + -sqrt (18 ^ 2-4xx3xx19)) / 6 x = (18 + -sqrt96) / 6 x = 3 + -2 / 3sqrt6 x ~ = 1.367 tai 4.633 Paikallisen maksimi- tai minimitestin testaamiseksi: f '' (1.367) <0 -> Paikallinen maksimi f '' (4.633)> 0 -> Paikallinen minimi f (1.367) ~ = 8.71 Paikallinen maksimi f (4.633) ~ = -8.71 Paikallinen minimi Nämä paik Lue lisää »

F (x): llä on paikallinen maksimiarvo noin (0.1032, 15.0510) f (x): llä on paikallinen minimi noin (3,2301, -0,2362) f (x) = (x-3) (x ^ 2-2x-5) Käytä tuotesääntöä. f '(x) = (x-3) * d / dx (x ^ 2-2x-5) + d / dx (x-3) * (x ^ 2-2x-5) Käytä tehosääntöä. f '(x) = (x-3) (2x-2) + 1 * (x ^ 2-2x-5) = 2x ^ 2-8x + 6 + x ^ 2-2x-5 = 3x ^ 2-10x +1 Paikallisesta ääriarvosta f '(x) = 0 Näin ollen 3x ^ 2-10x + 1 = 0 Käytä kvadraattista kaavaa. x = (+ 10 + -sqrt ((- 10) ^ 2-4 * 3 * 1)) / (2 * 3) = (10 + -sqrt (88)) / 6 n. 3.2301 tai 0. Lue lisää »

X_1 = -1 on maksimiarvo x_2 = 1 on vähimmäisarvo Ensin on löydettävä kriittiset pisteet yhtämällä ensimmäinen johdannainen nollaan: f '(x) = 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 3x ^ 2-1-3 / x ^ 2 = 0 Kuten x! = 0 voimme kertoa x ^ 2 3x ^ 4-x ^ 2-3 = 0 x ^ 2 = frac (1 + -sqrt (1 + 24)) 6 niin x ^ 2 = 1, koska toinen juuri on negatiivinen, ja x = + - 1 Sitten tarkastelemme toisen johdannaisen merkkiä: f '' (x) = 6x + 6 / x ^ 3 f '' (- 1) = -12 <0 f '' (1) = 12> 0 siten, että: x_1 = -1 on suurin x_2 = 1 on vähimmäiskuvaaja {x ^ 3-x + 3 / x [-20, Lue lisää »

Paikallinen maksimi ~ ~ -0,794 (x ~ ~ -0.563) ja paikalliset minimit ovat ~ ~ 18,185 (x ~ ~ -3.107) ja ~ ~ -281 (x ~ ~ 0.887) f '(x) = (2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2-8x-12) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 2 Kriittiset numerot ovat ratkaisuja 2x ^ 7-12x ^ 5 + 21x ^ 4 + 15x ^ 2 -8x-12 = 0. Minulla ei ole tarkkoja ratkaisuja, mutta numeeristen menetelmien avulla todelliset ratkaisut ovat noin: -3.107, - 0.563 ja 0.887 f '' (x) = (2x ^ 9-18x ^ 7 + 14x ^ 6 + 108x ^ 5-426x ^ 4 + 376x ^ 3 + 72x ^ 2 + 96x-104) / (x ^ 3-3x + 4) ^ 3 Käytä toista johdannaistestiä: f '' (- 3.107)> 0, joten f (-3.107) ~~ Lue lisää »

(1, e ^ -1) Meidän on käytettävä tuotesääntöä: d / dx (uv) = u (dv) / dx + v (du) / dx:. f '(x) = xd / dx (e ^ -x) + e ^ -x d / dx (x):. f '(x) = x (-e ^ -x) + e ^ -x (1):. f '(x) = e ^ -x-xe ^ -x A min / max f' (x) = 0 f '(x) = 0 => e ^ -x (1-x) = 0 nyt, e ^ x> 0 AA x RR: ssä:. f '(x) = 0 => (1-x) = 0 => x = 1 x = 1 => f (1) = 1e ^ -1 = e ^ -1 Näin ollen yksi kääntöpiste on (1 , e ^ -1) käyrä {xe ^ -x [-10, 10, -5, 5]} Lue lisää »

Tällä toiminnolla ei ole paikallista ääriarvoa. f (x) = xlnx-xe ^ x tarkoittaa g (x) ekviv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x Jos x on paikallinen ekstremum, g (x) on oltava nolla. Näytämme nyt, että tämä ei tapahdu mitään todellista arvoa x. Huomaa, että g ^ '(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {' '} (x) = -1 / x ^ 2- (x + 3) e ^ x Näin g ^ '(x) häviää, jos e ^ x = 1 / (x (x + 2)) Tämä on transsendenttinen yhtälö, joka voidaan ratkaista numeerisesti. Koska g ^ '(0) = + oo ja g ^' (1) = 1-3e < Lue lisää »

X_1 = 2.430500874043 ja y_1 = -1.4602879768904 Suurin piste x_2 = -1.0971675407097 ja y_2 = -0.002674986072485 Vähimmäispiste Määritä f (x) f '(x) = ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1 johdannainen -x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) / [(x-2) (x-4) ^ 3] ^ 2 Ota laskin sitten vastaa nollaa ((x-2) (x-4) ^ 3 * 1-x [(x-2) * 3 (x-4) ^ 2 + (x-4) ^ 3 * 1]) = 0 yksinkertaistaa (x-2) (x-4) ^ 3-3x (x-2) (x-4) ^ 2-x (x-4) ^ 3 = 0 Yhteisen termi (x-4) ^ 2 * [ (x-2) (x-4) -3x (x-2) -x (x-4)] = 0 (x-4) ^ 2 * (x ^ 2-6x + 8-3x ^ 2 + 6x- x ^ 2 + 4x) = 0 (x-4) ^ 2 (-3x ^ 2 + 4x + 8) = 0 x: n arvot ovat: x = 4 asymptooti Lue lisää »

Polynomit ovat eri puolilla eriytettäviä, joten etsiä kriittisiä arvoja yksinkertaisesti löytämällä ratkaisut f '= 0 f' = 12x ^ 2 + 6x-6 = 0 käyttämällä algebraa tämän yksinkertaisen kvadratiyhtälön ratkaisemiseksi: x = -1 ja x = 1 / 2 Määritä, ovatko ne min tai max liittämällä toiseen johdannaiseen: f '' = 24x + 6 f '' (- 1) <0, joten -1 on suurin f '' (1/2)> 0, joten 1/2 on vähimmäistodistus, joka auttoi Lue lisää »

F (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Tällä funktiolla on pystysuora asymptootti x = 2, lähestyminen 1 ylhäältä x siirtyy + oo: lle (vaakasuuntainen asymptoosi) ja lähestyy 1 alhaalta, kun x menee -oo. Kaikki johdannaiset ovat myös määrittelemättömiä x = 2. X = 0, y = 0 on kaikki paikalliset vähimmäismäärät (kaikki, mikä on alkuperää vaivaa!) Huomaa, että haluat ehkä tarkistaa matematiikan, vaikka parasta meistä pudottaa pariton negatiivinen merkki ja tämä on pitkä kysymys. f (x) = x ^ 2 / {(x-2) ^ 2 Lue lisää »

Bbl (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) bb r (t) = (4t ^ 2 + 3, 3t ^ 3) bbr (3) = (39,81) bb r '(t ) = (8t, 9t ^ 2) Tämä on tangenttivektori. bb r '(3) = (24, 81) Tangenttilinja on: bb l (lambda) = bb r (3) + lambda bb r' (3) = (39,81) + lambda (24, 81) osaa suunnata vektorin vähän: bb l (lambda) = (39,81) + lambda (8, 27) Lue lisää »

Raja on 1/5. Annettu lim_ (xto0) sinx / (5x) Tiedämme, että väri (sininen) (lim_ (xto0) sinx / (x) = 1 Joten voimme kirjoittaa uudelleen annetuksi: lim_ (xto0) [sinx / (x) * 1 / 5] 1/5 * lim_ (xto0) [sinx / (x)] 1/5 * 1 1/5 Lue lisää »

Int ln (xe ^ x) / (x) dx = ln ^ 2 (x) / 2 + x + C Meille annetaan: int ln (xe ^ x) / (x) dx Käyttämällä ln (ab) = ln (a) + ln (b): = int (ln (x) + ln (e ^ x)) / (x) dx Käyttämällä ln (a ^ b) = bln (a): = int (ln (x ) + xln (e)) / (x) dx Käyttämällä ln (e) = 1: = int (ln (x) + x) / (x) dx Fraktion jakaminen (x / x = 1): = int (ln (x) / x + 1) dx Summoitujen integraalien erottaminen: = int ln (x) / xdx + int dx Toinen integraali on yksinkertaisesti x + C, jossa C on mielivaltainen vakio. Ensimmäinen integraali, käytämme u-substituutiota: Let u ekviv l Lue lisää »

T = 0 ja t = (- 3 + -sqrt (13)) / 2 Toiminnon kriittiset kohdat ovat, kun funktion johdannainen on nolla tai määrittelemätön. Aloitamme etsimällä johdannainen. Voimme tehdä tämän käyttämällä tehosääntöä: d / dt (t ^ n) = nt ^ (n-1) s '(t) = 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t Toiminto on määritetty kaikille todellisille numeroille, joten emme löydä kriittisiä pisteitä tällä tavalla, mutta voimme ratkaista toiminnon nollat: 12t ^ 3 + 36t ^ 2-12t = 0 12t (t ^ 2 + 3t-1) = 0 Nollakertoimen periaatteen käytt&# Lue lisää »

-kosecx + C I = intcosx / sin ^ 2xdx = int1 / sinx * cosx / sinxdx I = intcscx * cotxdx = -cscx + C Lue lisää »

Sekvenssillä on sama käyttäytyminen kuin n ^ 4 / n ^ 5 = 1 / n, kun n on suuri Sinun pitäisi manipuloida lauseketta vain vähän, jotta tämä lausunto olisi selvä. Jaa kaikki sanat n ^ 5. n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5 ). Kaikki nämä rajat ovat olemassa, kun n-> oo, joten meillä on: lim_ (n-> oo) n ^ 4 / (n ^ 5 + 1) = (n ^ 4 / n ^ 5) / ((n ^ 5 + 1 ) / n ^ 5) = (1 / n) / (1 + 1 / n ^ 5) = 0 / (1 + 0) = 0, joten sekvenssi on yleensä 0 Lue lisää »

X kohdassa {-3/2, 3/2} Kysymys on oikeastaan siitä, missä y = 1 / x tangenttilinjat (joita voidaan ajatella rintakohdana tangentiaalipisteessä) on yhdensuuntainen y = -4 / 9x + 7. Kun kaksi riviä ovat samansuuntaisia, kun niillä on sama kaltevuus, tämä vastaa kysymystä, missä y = 1 / x: llä on tangenttilinjat, joiden kaltevuus on -4/9. Linjan tangentin rinne y = f (x): lle (x_0, f (x_0)) antaa f '(x_0). Yhdessä edellä mainitun kanssa tarkoitamme, että tavoitteemme on ratkaista yhtälö f '(x) = -4/9, jossa f (x) = 1 / x. Johdannaisella on f & Lue lisää »

F '(x) = - sek ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) f (x) = sin (g (x)) f' (x) = g '(x) cos (g (x)) g (x) = cos (h (x)) g '(x) = - h' (x) sin (h (x)) h (x) = tan (x) h '(x) = sek ^ 2x g '(x) = - sek ^ 2xsin (tanx) g (x) = cos (tanx) f' (x) = - sek ^ 2xsin (tanx) cos (cos (tanx)) Lue lisää »

Väri (sininen) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Jos: y = ln (x) <=> e ^ y = x Käyttämällä tätä määritelmää annettu funktio: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x) Epäsuorasti erottelu: e ^ ydy / dx = 1 + 0-3e ^ (- 3x) Jakaminen: väri (valkoinen) (88) bb (e ^ y) dy / dx = (1-3e ^ (- 3x)) / e ^ y Ylhäältä: e ^ y = x + 4 + e ^ (- 3x):. dy / dx = väri (sininen) ((1-3e ^ (- 3x)) / (x + 4 + e ^ (- 3x))) Lue lisää »

Gottfried Wilhelm Leibniz oli matemaatikko ja filosofi. Monet hänen panoksistaan matematiikan maailmaan olivat filosofian ja logiikan muodossa, mutta hänestä on paljon tunnettua löytää yhtenäisyys integraalin ja kaavion alueen välillä. Hän keskittyi ensisijaisesti laskemaan laskelman yhdeksi järjestelmäksi ja keksimään notaation, joka määrittelee yksiselitteisesti laskelman. Hän löysi myös käsitteet, kuten korkeammat johdannaiset, ja analysoi tuotteen ja ketjun säännöt perusteellisesti. Leibniz työskente Lue lisää »

Sir Isaac Newton oli jo tunnettu gravitaatioteorioistaan ja planeettojen liikkeestä. Hänen kehityksensä laskennassa olivat löytää tapa yhdistää matematiikka ja planeetan liikkeen ja painovoiman fysiikka. Hän esitteli myös tuotesäännön, ketjun säännön, Taylor-sarjan ja johdannaisen korkeamman käsitteen. Newton työskenteli pääasiassa funktio-merkinnällä, kuten: f (x) merkitsee funktiota f '(x), joka merkitsee funktion F (x) johdannaista funktion antiversiona. Esimerkiksi tuotesääntö näytt Lue lisää »

Todellisessa elämässä epäjatkuvuus vastaa lyijykynän nousua, kun piirrät kuvaajan funktion. Katso alla. Tässä ajatuksessa on useita epäjatkuvuustyyppejä. Vältettävä epäjatkuvuus Äärettömän hyppyhäiriön ja rajallisen hyppyhäiriön lopettaminen Näet tämäntyyppiset Internet-sivut. tämä on esimerkiksi rajallinen hyppyhäiriö. Matemaattinen, jatkuminen vastaa sitä, että: lim_ (xtox_0) f (x) on olemassa ja se on yhtä kuin f (x_0) Lue lisää »

Toiminnolla on epäjatkuvuus, jos se ei ole määritelty tarkasti tietylle arvolle (tai arvoille); on olemassa 3 erilaista epäjatkuvuutta: ääretön, piste ja hypätä. Monilla tavallisilla toiminnoilla on yksi tai useampi epäjatkuvuus. Esimerkiksi funktio y = 1 / x ei ole määritelty hyvin x = 0: lle, joten sanomme, että sillä on epäjatkuvuus kyseiselle x: n arvolle. Katso alla oleva kaavio. Huomaa, että käyrä ei ylitä x = 0. Toisin sanoen funktiolla y = 1 / x ei ole y-arvoa x = 0: lle. Samalla tavalla jaksollisella funktiolla y = tanx Lue lisää »

35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)) + C nimittäjän jälkeen on jo huomioitu, kaikki osatekijät täytyy ratkaista vakioille: (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) Huomaa, että tarvitsemme sekä x: n että vakion aikavälin vasemmassa osassa, koska lukija on aina 1 astetta pienempi kuin nimittäjä. Voisimme moninkertaistaa vasemmanpuoleisen nimittäjän kautta, mutta se olisi valtava määrä työtä, joten voimme olla älykkäit& Lue lisää »

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Suuri ongelma tässä integraalissa on juuri, joten haluamme päästä eroon siitä. Voimme tehdä tämän ottamalla käyttöön korvauksen u = sqrt (2x-1). Johdannainen on tällöin (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1). Jaamme sen kautta (ja muista, että jakaminen vastavuoroisesti on sama kuin kerroin nimittäjällä) integroitumaan suhteessa u: int t x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / peruuta (sqrt (2x-1)) peruuta (sqrt (2x-1)) du = int ^ 2-1 Nyt kaikki, m Lue lisää »

C = 2/3 Jos f (x) on jatkuva x = 2, on oltava totta: lim_ (x-> 2) f (x) on olemassa. f (2) on olemassa (tämä ei ole ongelma tässä, koska f (x) on selvästi määritelty x = 2 Tutkitaan ensimmäistä postulaattia. Tiedämme, että raja on olemassa, vasemman ja oikean käden rajojen on oltava yhtä suuret. Matemaattisesti: lim_ (x-> 2 ^ -) f (x) = lim_ (x-> 2 ^ +) f (x) Tämä osoittaa myös, miksi kiinnostamme vain x = 2: se on ainoa arvo x: lle tämä toiminto määritellään eri asioiksi oikealle ja vasemmalle, mikä Lue lisää »

4pi ^ 2ab Koska ds = ad theta, pituuselementti ympyrässä, jonka säde on a, jolla on pystysuora akseli kiertokeskuksena ja ympyrän alkuperä etäisyydellä b pyörimisakselista, meillä on S = int_ {0} ^ {2pi } 2 pi (b + a cos theta) ad theta = 4pi ^ 2ab Lue lisää »

A) f (4) = pi / 2; b) f (4) = 0 a) Eri molemmat puolet. Vasemmanpuoleisen Calculuksen toisen perustavan teorian ja oikeanpuoleisen tuotteen ja ketjun sääntöjen kautta näemme, että erottelu paljastaa, että: f (x ^ 2) * 2x = sin (pix) + pixcos (pix ) Kun x = 2 osoittaa, että f (4) * 4 = sin (2pi) + 2picos (2pi) f (4) * 4 = 0 + 2pi * 1 f (4) = pi / 2 b) Sisätermin integrointi. int_0 ^ f (x) t ^ 2dt = xsin (pix) [t ^ 3/3] _0 ^ f (x) = xsin (pix) Arvioi. (f (x)) ^ 3 / 3-0 ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3/3 = xsin (pix) (f (x)) ^ 3 = 3xsin (pix) Let x = 4. (f (4)) ^ 3 = 3 (4) sin (4pi) (f (4 Lue lisää »

(C) Huomaa, että funktio f on erottuva kohdassa x_0, jos lim_ (h-> 0) (f (x_0 + h) -f (x_0)) / h = L annetulla informaatiolla on tosiasia, että f on erottuva 2: ssa ja että f '(2) = 5. Tarkasteltaessa lausuntoja: I: True Erotteleva funktio jossain vaiheessa merkitsee sen jatkuvuutta tässä vaiheessa. II: True Annettu tieto vastaa erotettavuuden määritelmää x = 2. III: False Toiminnon johdannainen ei välttämättä ole jatkuvaa, klassinen esimerkki on g (x) = {(x ^ 2sin (1 / x), jos x! = 0), (0 jos x = 0):}, joka on erottuva 0: ssa, mutta jonka johdannaisen Lue lisää »

Y = -48x - 79 Linjan tangentti kuvaan y = f (x) pisteessä (x_0, f (x_0)) on viiva, jonka kaltevuus on f '(x_0) ja kulkee (x_0, f (x_0)) . Tässä tapauksessa meille annetaan (x_0, f (x_0)) = (-2, 17). Niinpä meidän on laskettava f '(x_0) vain rinteeksi ja liitettävä se sitten rivin piste-kaltevuusyhtälöön. F (x): n johdannaisen laskemisessa saadaan f '(x) = 8x ^ 3-8x => f' (- 2) = 8 (-2) ^ 3-8 (-2) = -64 + 16 = -48 Niinpä tangenttilinjalla on -48 ja kulkee (-2, 17). Siten yhtälö on y - 17 = -48 (x - (-2)) => y = -48x - 79 Lue lisää »

F (x) = x Etsimme funktiota f: RR rarr RR niin, että ratkaisu f (x) = f ^ (- 1) (x) Tämä on etsimme toimintoa, joka on sen oma käänteinen. Yksi ilmeinen tällainen toiminto on triviaalinen ratkaisu: f (x) = x Ongelman perusteellisempi analyysi on kuitenkin huomattavan monimutkainen, kuten Ng Wee Leng ja Ho Foo Hän tutkivat, kuten Matematiikan opettajien liiton lehdessä julkaistiin. . http://www.atm.org.uk/journal/archive/mt228files/atm-mt228-39-42.pdf Lue lisää »

3 / (4a) (x ^ 3 - a ^ 3) = (xa) (x ^ 2 + x + a ^ 2) (x ^ 4 - a ^ 4) = (x ^ 2-a ^ 2) ( x ^ 2 + a ^ 2) = (xa) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2) => (x ^ 3-a ^ 3) / (x ^ 4-a ^ 4) = (( peruuta (xa)) (x ^ 2 + a x + a ^ 2)) / ((peruuta (xa)) (x + a) (x ^ 2 + a ^ 2)) "Täytä nyt x = a:" = (3 a ^ 2) / ((2 a) (2 a ^ 2)) = 3 / (4a) "Voimme myös käyttää l 'Hôpital-sääntöä:" "Tulostimen ja nimittäjän tuotot:" "(3 x ^ 2) / (4 x ^ 3) = 3 / (4x) "Täytä nyt x = a:" "= 3 / (4a) Lue lisää »

Aloitamme erottelemalla tuotesääntöä ja ketjua. Anna y = u ^ (1/2) ja u = x. y '= 1 / (2u ^ (1/2)) ja u' = 1 y '= 1 / (2 (x) ^ (1/2)) Nyt tuotesääntö; f '(x) = 0 xx sqrt (x) + 1 / (2 (x) ^ (1/2)) xx 5/2 f' (x) = 5 / (4sqrt (x)) Muutosnopeus osoitteessa mikä tahansa funktion piste annetaan arvioimalla x = a johdannaiseksi. Kysymys kertoo, että muutosnopeus x = 3 on kaksinkertainen muutosnopeuteen x = c. Ensimmäinen toimintamme on löytää muutosnopeus x = 3. rc = 5 / (4sqrt (3)) Muutosnopeus x = c on sitten 10 / (4sqrt (3)) = 5 / (2sqrt (3)). Lue lisää »

-1.11164 "Tämä on rationaalisen funktion integraali." "Vakiomenettely on osittaisjako." "Ensinnäkin haemme nimittäjän nollia:" x ^ 3 - 5 x ^ 2 + 4 x = 0 => x (x - 1) (x - 4) = 0 => x = 0, 1, tai 4 "Joten jaimme osittaisjakeisiin:" (2x + 1) / (x ^ 3-5x ^ 2 + 4x) = A / x + B / (x-1) + C / (x-4) => 2x + 1 = A (x-1) (x-4) + B x (x-4) + C x (x-1) => A + B + C = 0, -5 A - 4 B - C = 2 , 4A = 1 => A = 1/4, B = -1, C = 3/4 "Joten meillä on" (1/4) int {dx} / x - int {dx} / (x-1) + (3/4) int {dx} / (x-4) = (1/4) ln (| x |) - ln (| x-1 |) + Lue lisää »

Tangentit ovat 25x-9y + 54 = 0 ja y = x + 6 Tangentin kaltevuus on m. Sitten tangentin yhtälö on y-6 = mx tai y = mx + 6 Nyt katsotaan tämän tangentin ja annetun käyrän y = (x + 2) / (x + 3) leikkauspiste. Tässä asetetaan y = mx + 6 tässä mx + 6 = (x + 2) / (x + 3) tai (mx + 6) (x + 3) = x + 2 eli mx ^ 2 + 3mx + 6x + 18 = x + 2 tai mx ^ 2 + (3m + 5) x + 16 = 0 Tämän pitäisi antaa kaksi arvoa x eli kaksi leikkauspistettä, mutta tangentti leikkaa käyrän vain yhteen pisteeseen. Näin ollen jos y = mx + 6 on tangentti, meidän pitäisi Lue lisää »

Siinä on kriittisiä pisteitä vain k> 0: lle Ensin lasketaan h (x): n ensimmäinen johdannainen. h ^ (prime) (x) = d / (dx) [e ^ (- x) + kx] = d / (dx) [e ^ (- x)] + d / (dx) [kx] = - e ^ (- x) + k Nyt kun x_0 on h: n kriittinen piste, sen on noudatettava ehtoa h ^ (prime) (x_0) = 0, tai: h ^ (prime) (x_0) = -e ^ ( -x_0) + k = 0 <=> e ^ (- x_0) = k <=> -x_0 = ln (k) <=> <=> x_0 = -ln (k) K: n luonnollinen logaritmi on nyt vain määritetty k> 0: lle, joten h (x): llä on vain kriittisiä pisteitä arvoille k> 0. Lue lisää »

Kutsumme N- ja S-sivujen pituudet x (jalat) ja kaksi muuta kutsumme y (myös jaloissa). Sen jälkeen aidan hinta on: 2 * x * $ 10 N + S: lle ja 2 * y * 15 dollaria E + W: lle Tämän jälkeen aidan kokonaiskustannuksen yhtälö on: 20x + 30y = 480 Erottelemme y: n: 30y = 480-20x-> y = 16-2 / 3 x Area: A = x * y, korvaten y: n yhtälössä, jonka saamme: A = x * (16-2 / 3 x) = 16x-2/3 x ^ 2 Maksimi löytämiseksi meidän täytyy erottaa tämä toiminto ja asettaa sitten johdannainen 0 A '= 16-2 * 2 / 3x = 16-4 / 3 x = 0 Mikä ratkaisee x = 12 Korvaam Lue lisää »

Dy / dx = (3 s ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Ketjun sääntö: (f @ g) '(x) = f' (g (x)) * g '(x) Ensin erotetaan ulkoinen toiminto, jätetään sisäpuoli ja kerrotaan sitten sisäfunktion johdannaisella. y = tan sqrt (3x-1) dy / dx = sek ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx sqrt (3x-1) = sek ^ 2 sqrt (3x-1) * d / dx (3x-1 ) ^ (1/2) = sek ^ 2 sqrt (3x-1) * 1/2 (3x-1) ^ (- 1/2) * d / dx (3x-1) = sek ^ 2 sqrt (3x- 1) * 1 / (2 sqrt (3x-1)) * 3 = (3 sek ^ 2 sqrt (3x-1)) / (2 sqrt (3x-1)) Lue lisää »

1 f (n) = n ^ (1 / n) merkitsee logia (f (n)) = 1 / n log n Nyt lim_ {n -> oo} log (f (n)) = lim_ {n -> oo} log n / n qquadqquadqquad = lim_ {n -> oo} {d / (dn) log n} / {d / (dn) n} = lim_ {n-> oo} (1 / n) / 1 = 0 Koska loki x on jatkuva toiminto, meillä on loki (lim_ {n - oo} f (n)) = lim_ {n - oo} log (f (n)) = 0 tarkoittaa lim_ {n - oo} f (n) = e ^ 0 = 1 Lue lisää »

Lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = 1 etsimme: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x) / (sin (1 / x) ) Kun arvioimme rajaa, tarkastelemme funktion "lähellä" käyttäytymistä, ei välttämättä funktion "kyseisessä kohdassa" käyttäytymistä, joten x rarr 0: na ei missään vaiheessa tarvitse miettiä, mitä tapahtuu x = 0, joten saamme triviaalisen tuloksen: L = lim_ (x rarr 0) sin (1 / x) / (sin (1 / x)) = lim_ (x rarr 0) 1 = 1 Selkeyden vuoksi funktio, joka kuvaa käyttäytymistä visuaalisesti x = Lue lisää »

Rajaa ei ole. Koska x lähestyy 1, argumentti pi / (x-1) ottaa arvot pi / 2 + 2pik ja (3pi) / 2 + 2pik äärettömästi usein. Niin sin (pi / (x-1)) ottaa arvot -1 ja 1 äärettömän monta kertaa. Arvo ei voi lähestyä yhtä rajoittavaa numeroa. käyrä {sin (pi / (x-1)) [-1,796, 8,07, -1,994, 2,94]} Lue lisää »

"Katso selitys" "Käytä määritelmää | x |:" f (x) = | x | => {(f (x) = x, x> = 0), (f (x) = -x, x <= 0):} "Nyt johdetaan:" {(f '(x) = 1, x> = 0), (f '(x) = -1, x <= 0):} "Niinpä näemme, että f' (x): lle on epäjatkuvuus x = 0." "Loput, se on eriytettävissä kaikkialla." Lue lisää »

Telescoping Series 1 Sigma (sqrt (n + 2) - 2sqrt (n + 1) + sqrt (n)) Sigma (sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1) -sqrt (n + 1) + sqrt (n )) Sigma ((sqrt (n + 2) - sqrt (n + 1)) ((sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1) )) + (- sqrt (n + 1) + sqrt (n)) ((sqrt (n + 1) + sqrt (n)) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Sigma (1 / (sqrt (n + 2) + sqrt (n + 1)) + (- 1) / (sqrt (n + 1) + sqrt (n)))) Tämä on romahtava (teleskooppinen) sarja. Sen ensimmäinen termi on -1 / (sqrt (2) + 1) = 1-sqrt2. Lue lisää »

Toinen johdannaistesti tarkoittaa, että kriittinen luku (piste) x = 4/7 antaa paikalliselle minimille f, kun sanotaan mitään f: n luonteesta kriittisissä numeroissa (pisteissä) x = 0,1. Jos f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3, tuotesääntö sanoo f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) Aseta tämä nollaan ja ratkaistaan x tarkoittaa, että f: llä on kriittiset luvut (pisteet) x = 0,4 / 7,1. Tuotesääntöjen käyttö taas antaa: f '' (x) = d / dx (x ^ 3 * (x-1) ^ 2) * (7x-4) Lue lisää »

Sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n + 1)) Loppu: S = x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ (n-1)) Jos epäselvä sen vaikutuksesta, niin paras vaihtoehto laajentaa muutaman summan summaa: S = x ^ 2 {0a_0x ^ (- 1) + 1a_1x ^ 0 + 2a_2x ^ 1 + 3a_3x ^ 2 + 4a_4x ^ 3 + ...} t ) + 1a_1x ^ 2 + 2a_2x ^ 3 + 3a_3x ^ 4 + 4a_4x ^ 5 + ...} Sitten voimme laittaa sarjan takaisin "sigma" -merkintään: S = sum_ (n = 0) ^ oo (na_nx ^ ( n + 1)) Lue lisää »

V = 8pi: n tilavuusyksiköt Olennainen ongelma on: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Muista, että kiinteän aineen tilavuus on: V = piint (f (x)) ^ 2 dx alkuperäinen Intergral vastaa: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Joka puolestaan vastaa: V = pi [x ^ 2 / (2)] välillä x = 0 alarajana ja x = 4 ylärajana. Calculuksen perustavanlaatuisen lauseen avulla korvataan raja-arvot integroituun lausekkeeseemme vähentämällä alaraja ylärajasta. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi tilavuusyksiköt Lue lisää »

Raja antaa meille mahdollisuuden tutkia funktion taipumusta tietyn pisteen ympärillä, vaikka toimintoa ei ole määritelty kohdassa. Katsokaamme alla olevaa toimintoa. f (x) = {x ^ 2-1} / {x-1} Koska sen nimittäjä on nolla, kun x = 1, f (1) on määrittelemätön; sen raja on kuitenkin x = 1 ja osoittaa, että funktion arvo lähestyy 2: ta. lim_ {x - 1} {x ^ 2-1} / {x-1} = lim_ {x - 1} {(x + 1) (x-1)} / {x-1} = lim_ {x - 1 } (x + 1) = 2 Tämä työkalu on erittäin hyödyllinen laskennassa, kun tangenttilinjan kaltevuus on lähentymässä s Lue lisää »

Väri (sininen) (- (2y ^ (5/2)) / (1 + 4xy ^ (3/2))) Meidän on erotettava tämä epäsuorasti, koska meillä ei ole funktiota yhden muuttujan suhteen. Kun erottelemme y, käytämme ketjun sääntöä: d / dy * dy / dx = d / dx Esimerkkinä, jos meillä oli: y ^ 2 Tämä olisi: d / dy (y ^ 2) * dy / dx = 2ydy / dx Tässä esimerkissä meidän on myös käytettävä tuotesääntöä termissä xy ^ 2 Sqrt (y) kirjoittaminen y ^ (1/2) y ^ (1/2) + xy ^ 2 = 5 Erottelu: 1 / 2y ^ (-1/2) * dy / dx + x * 2ydy / dx + y Lue lisää »

V = 685 / 32pi kuutiometriä Ensin piirrä kaaviot. y_1 = x ^ 2-x y_2 = 3-x ^ 2 x-sieppaus y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 Ja meillä on se {(x = 0), (x = 1):} Niinpä sieppaukset ovat (0,0) ja (1,0) Hanki huippu: y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 Niinpä huippu on (1/2, -1 / 4) Toista edellinen: y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 Ja meillä on se {(x = sqrt (3) ), (x = -sqrt (3)):} Niinpä sieppaukset ovat (sqrt (3), 0) ja (-sqrt (3), 0) y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 Niin huippu on (0,3) Tulos: Kuinka saat äänenvoimakkuuden? Käytämme levytap Lue lisää »

124.5 int_1 ^ 4 (2x ^ 3-2x + 4) dx = [((2x ^ 4) / 4) - ((2x ^ 2) / 2) + 4x] Ylemmällä rajalla x = 4 ja alaraja x = 1 Käytä raja-arvoja integroidussa lausekkeessa eli vähennä alaraja ylärajastasi. = (128-16-16) - ((1/2) -1 + 4) = 128-3 (1/2) = 124,5 Lue lisää »

Inflexion kohta on ((3pi) / 4 + 2kpi, 0) "AND" ((-pi / 2 + 2kpi, 0)) 1 - Ensin on löydettävä funktion toinen johdannainen. 2 - Toiseksi me rinnastamme tämän johdannaisen ((d ^ 2y) / (dx ^ 2)) nollaan y = sinx + cosx => (dy) / (dx) = cosx-sinx => (d ^ 2y) / ( dx ^ 2) = - sinx-cosx Seuraava, -sinx-cosx = 0 => sinx + cosx = 0 Nyt ilmaisemme sen muodossa Rcos (x + lamda) Jos lambda on vain terävä kulma ja R on positiivinen kokonaisluku. Näin sinx + cosx = Rcos (x + lambda) => sinx + cosx = Rcosxcoslamda - sinxsinlamda Yhdistämällä sinx- ja cosx-kertoi Lue lisää »

Int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c Tämä ongelma on järkevä 4-9x ^ 2> = 0, joten -2/3 <= x <= 2/3. Siksi voimme valita 0 <= u <= pi niin, että x = 2 / 3cosu. Tätä käyttämällä voimme muuttaa muuttujan x integraalissa käyttämällä dx = -2 / 3sinudu: int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u )) sinudu = -4 / 27intcos ^ 2udu tässä käytämme sitä 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u ja että 0 <= u <= pi sinu> = 0. Nyt käytetä Lue lisää »

Meidän on ensin käsiteltävä lauseketta laittamalla se sopivammassa muodossa. Työskentelemme ilmaisulla (1 / (h + 2) ^ 2 -1/4) / h = ((4- (h + 2) ^ 2) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = ((4- (h ^ 2 + 4h + 4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (((4 h) ^ 2-4h-4)) / (4 (h + 2) ^ 2)) / h = (- h ^ 2-4h) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (h (-h- 4)) / (4 (h + 2) ^ 2 h) = (-h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) Kun nyt on rajoituksia, kun h-> 0 meillä on: lim_ (h-> 0 ) (- h-4) / (4 (h + 2) ^ 2) = (-4) / 16 = -1 / 4 Lue lisää »

1 / (sqrt2) tan ^ -1 ((tanx-1) / (sqrt (2tanx))) - 1 / (2sqrt2) ln | (tanx-sqrt (2tanx) +1) / (tanx-sqrt (2tanx) + 1) | + C Aloitamme u-substituutiolla u = sqrt (tanx) U: n johdannainen on: (du) / dx = (sec ^ 2 (x)) / (2sqrt (tanx)), joten jaamme ne että integroituminen suhteessa u: hen (ja muistakaa, että jakaminen murto-osalla on sama kuin kerrotaan sen vastavuoroisella): int 1 / sqrt (tanx) x = int 1 / sqrt (tanx) * (2sqrt (tanx) * ) / sec ^ 2x du = = int 2 / sec ^ 2x du Koska emme voi integroida x: itä u: n suhteen, käytämme seuraavaa identiteettiä: sec ^ 2theta = tan ^ 2theta + 1 Täm Lue lisää »

Helpoin tapa ajatella kaksoisintegraattia on tilavuus 3-ulotteisessa tilassa olevan pinnan alla. Tämä on samanlainen kuin normaaliin integraaliin nähden kuin käyrän alla oleva alue. Jos z = f (x, y) sitten int_y int_x (z) dx dy olisi tilavuus näiden pisteiden kohdalla, z, y: n ja x: n määrittelemille domeeneille. Lue lisää »

- (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 sqrt ((x + 1) / (2x-1)) f (x) = u ^ n f '(x) = n xx ( du) / dx xxu ^ (n-1) Tässä tapauksessa: sqrt ((x + 1) / (2x-1)) = ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2): n = 1/2, u = (x + 1) / (2x-1) d / dx = 1/2 xx (1xx (2x-1) - 2xx (x + 1)) / (2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1 / 2-1) = 1 / 2xx (-3) / ((2x-1) ^ 2 xx ((x + 1) / (2x- 1)) ^ (1 / 2-1) = - (3 (x + 1)) / (2 (2x-1) ^ 2 ((x + 1) / (2x-1)) ^ (1/2) Lue lisää »

Ensimmäinen vaihe on funktion uudelleenkirjoittaminen rationaalisena eksponenttina f (x) = sin (x) ^ {1/2} Kun olet ilmaissut kyseisessä muodossa, voit erottaa sen ketjurajoituksella: tapauksessasi: u ^ {1/2} -> 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * d / dxSin (x) Sitten 1 / 2Sin (x) ^ {- 1/2} * Cos (x), joka on sinun vastaus Lue lisää »

(dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Oletan, että haluat löytää (dy) / (dx). Tätä varten tarvitaan ensin ilmaisu y: lle x: n mukaan. Huomaa, että tässä ongelmassa on erilaisia ratkaisuja, koska tan (x) on jaksollinen funktio, tan (x-y) = x: llä on useita ratkaisuja. Koska kuitenkin tiedämme tangenttitoiminnon (pi) jakson, voimme tehdä seuraavat: xy = tan ^ (- 1) x + npi, jossa tan ^ (- 1) on kääntävä funktio tangentista, joka antaa arvot välillä -pi / 2 ja pi / 2 ja tekijä npi on lisätty tangentin jaksoisuuden huomioon ottamis Lue lisää »

Y = -2x + pi / 2 Jos haluat löytää tangenttilinjan yhtälön käyrään y = cos (2x) x = pi / 4, aloita ottamalla y: n johdannainen (käytä ketjosääntöä). y '= - 2sin (2x) Liitä nyt arvo x: ksi y': -2sin (2 * pi / 4) = - 2 Tämä on tangenttilinjan kaltevuus x = pi / 4. Jos haluat löytää tangenttilinjan yhtälön, tarvitsemme arvon y: lle. Liitä x-arvo vain y: n alkuperäiseen yhtälöön. y = cos (2 * pi / 4) y = 0 Nyt käytä pisteiden kaltevuuslomaketta löytääksesi tange Lue lisää »

F: n määritelty integraali väliltä [a, b] määritellään aluksi funktiolle f, joka sisältää [a, b] sen verkkotunnuksessa. Toisin sanoen: aloitamme funktiolla f, joka on määritetty kaikille x: lle [a, b]. Väärät integraalit laajentavat alkuperäistä määritelmää sallimalla a tai b tai molemmat olevan f: n (mutta reunan) ulkopuolella. joten voimme etsiä rajoja) tai väliltä puuttuu vasen ja / tai oikea päätepiste (ääretön aikaväli). Esimerkkejä: int_0 ^ 1 lnx dx-väri Lue lisää »

(dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2) Viittaan osoitteeseen http://socratic.org/questions/how-do-you-find-the-derivative-of-tan-xyx -1? AnswerSuccess = 1, jossa olemme havainneet, että kun x = tan (xu); (du) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) (Olen korvattu y: llä u: n vuoksi). Tämä tarkoittaa sitä, että jos me korvaa u: n -y: n, havaitsemme, että x = tan (x + y); - (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2), joten (dy) / (dx) = - x ^ 2 / (1 + x ^ 2). Lue lisää »

(root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3ln (abs (root3x-1)) + C Meillä on int root3x / (root3x-1) dx Korvaa u = (root3x-1) (du) / (dx) = x ^ (- 2/3) / 3 dx = 3x ^ (2/3) du int root3x / (root3x-1) (3x ^ (2 / 3)) du = int (3x) / (root3x-1) du = int (3 (u + 1) ^ 3) / udu = 3int (u ^ 3 + 3u ^ 2 + 3u + 1) / udu = int3u ^ 2 + 9u + 9 + 3 / udu = u ^ 3 + (9u ^ 2) / 2 + 9u + 3ln (abs (u)) + C Korvaa u = root3x-1: (root3x-1) ^ 3 + (9 (root3x-1) ^ 2) / 2 + 9 (root3x-1) + 3LN (abs (root3x-1)) + C Lue lisää »

Dy / dx = csin (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + csin ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Tietylle funktiolle y = f (x) = uv, jossa u ja v ovat molemmat x-funktiot, saadaan: dy / dx = u'v + v'u u = sin (cx) u '= c cos (cx) v = sin ^ c (x) v '= c cos (x) sin ^ (c-1) (x) dy / dx = do (cx) cos (x) sin ^ (c-1) (x) + tekee ^ c (x) cos (cx) = csin (x) ^ (c-1) sin (cx + x) Lue lisää »

Kun cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) = 0 Meille annetaan f (x, y) = sin (x) cos (y) + e ^ xtan ( y) Kriittisiä pisteitä esiintyy, kun (delf (x, y)) / (delx) = 0 ja (delf (x, y)) / (dely) = 0 (delf (x, y)) / (delx) = cos ( x) cos (y) + e ^ xtan (y) (delf (x, y)) / (dely) = - sin (x) sin (y) + e ^ xsec ^ 2 (y) sin (y) syn ( x) + cos (y) cos (x) + e ^ xtan (y) -e ^ xsec ^ 2 (y) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) -sek ^ 2 (y)) = cos (xy) + e ^ x (tan (y) - (1 + tan ^ 2 (y))) = cos (xy) + e ^ x (-tan ^ 2 (y) + tan (y) -1) Ei ole todellista tapaa löytää ratkaisuja, mutta kriittisiä pisteitä Lue lisää »

F (x) = lnx + 1 Jaamme epätasa-arvon kahteen osaan: f (x) -1> = lnx -> (1) f (x / e) <= lnx-> (2) Katsotaanpa (1) : Järjestämme uudelleen, jotta saat f (x)> = lnx + 1 Katsotaanpa (2): Oletetaan, että y = x / e ja x = te. Edellytämme edelleen ehtoa y (0, + oo) .f (x / e) <= lnx f (y) <= lnye f (y) <= lny + lne f (y) <= lny + 1 y inx niin f (y) = f (x). 2 tuloksesta f (x) = lnx + 1 Lue lisää »

Tehosääntö: jos f (x) = x ^ n ja sitten f '(x) = nx ^ (n-1) summa sääntö: jos f (x) = g (x) + h (x), sitten f' (x) = g '(x) + h' (x) Tuotesääntö: jos f (x) = g (x) h (x), sitten f '(x) = g' (x) h (x) + g (x) h '(x) Quotient-sääntö: jos f (x) = g (x) / (h (x)), sitten f' (x) = (g '(x) h (x) - g (x) h' ( x)) / (h (x)) ^ 2 Ketjussääntö: jos f (x) = h (g (x)), sitten f '(x) = h' (g (x)) g '(x) tai: dy / dx = dy / (du) * (du) / dx Lisätietoja: http://socratic.org/calculus/basic-differentiation-rule Lue lisää »

E ^ (- 2 x) = sum_ (n = 0) ^ oo (-2) ^ n / (n!) x ^ n = 12 x + 2x ^ 2-4 / 3x ^ 3 + 2 / 3x ^ 4. .. Taylor-sarjan tapausta, joka on laajennettu noin 0: een, kutsutaan Maclaurin-sarjaksi. Maclaurin-sarjan yleinen kaava on: f (x) = sum_ (n = 0) ^ o ^ n (0) / (n!) X ^ n Toimintamme sarjan kehittämiseksi voimme aloittaa toiminnolla e ^ x ja sen jälkeen voit selvittää kaavan e ^ (- 2x). Maclaurin-sarjan rakentamiseksi täytyy selvittää e ^ x: n johdannainen. Jos otamme muutamia johdannaisia, voimme melko nopeasti nähdä kuvion: f (x) = e ^ x f '(x) = e ^ x f' '(x) = e ^ x Its Lue lisää »

Lajin kantokyky on kyseisen lajin suurin populaatio, jota ympäristö voi ylläpitää toistaiseksi käytettävissä olevien resurssien perusteella. Se toimii väestönkasvutoimintojen ylärajana. Kuviossa olettaen, että väestönkasvutoiminto on esitetty riippumattomalla muuttujalla (tavallisesti t väestönkasvun tapauksissa) vaaka-akselilla, ja riippuva muuttuja (väestö, tässä tapauksessa f (x)) pystysuoralla akselilla , kantavuus on horisontaalinen asymptoote. Tavanomaisissa tapahtumissa, äärimmäisissä olosuhteissa, Lue lisää »